说明：本版按原 PDF 题号 1～100 顺序重编，尽量补全为“题目 + 答案 + 解析 + 考点”。
由于原 PDF 存在少量公式识别错位、字符缺失和排版粘连，个别题目我按常见《经济数学2》题型进行了规范化还原；对无法百分百确认的题，已明确标注“按题面识别整理”。复习时可将本稿与老师原讲义对照使用。
点 \(A(0,0,0)\) 到点 \(B(1,3,1)\) 的距离 \(AB=\)
答案： \(\sqrt{11}\)
解析：
\[ AB=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{11} \]
考点： 空间两点距离公式。
点 \(A(0,1,2)\) 到点 \(B(3,1,5)\) 的距离 \(AB=\)
答案： \(3\sqrt2\)
解析：
\[ AB=\sqrt{(3-0)^2+(1-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2 \]
考点： 三维坐标距离计算。
通过点 \((1,-2,0)\) 且平行于 \(yoz\) 面的平面方程为
答案： \(x=1\)
解析： 平行于 \(yoz\) 面的平面都形如 \(x=c\)，代入点坐标得 \(c=1\)。
考点： 特殊位置平面方程。
按题面识别：函数 \(f(x,y)=x+y\)，则 \(f(0,4)=\)
答案： \(4\)
解析：
\[ f(0,4)=0+4=4 \]
考点： 二元函数求函数值。
按题面识别为两类极限：
\[ \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{x^2+y^2}{x+y} \]
\[ \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{x+y}{x^2+y^2} \]
答案： 分别为 \(1,1\)
解析： 直接代入即可，因为分母极限不为 \(0\)。
考点： 多元函数直接代入型极限。
求极限
\[ \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} \]
答案： \(0\)
解析： 直接代入得
\[ \frac{1\cdot 0}{1^2+0^2}=0 \]
考点： 二元函数极限直接代入。
设
\[ z=e^x+y^3+1 \]
求全微分 \(dz\)。
答案：
\[ dz=e^x\,dx+3y^2\,dy \]
解析：
\[ z_x=e^x,\qquad z_y=3y^2 \]
故
\[ dz=z_xdx+z_ydy=e^x dx+3y^2dy \]
考点： 全微分公式。
设
\[ z=x+e^{y^3} \]
求全微分 \(dz\)。
答案：
\[ dz=dx+3y^2e^{y^3}\,dy \]
解析：
\[ z_x=1,\qquad z_y=3y^2e^{y^3} \]
所以
\[ dz=dx+3y^2e^{y^3}dy \]
考点： 指数复合函数的偏导。
设 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3\}\)，求
\[ \iint_D \frac13\,d\sigma \]
答案： \(\pi\)
解析： 区域面积为 \(3\pi\)，所以积分为
\[ \frac13\cdot 3\pi=\pi \]
考点： 常数在区域上的二重积分。
已知 \(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=4\)，则级数 \(\sum u_n\) 的敛散性为
答案： 发散
解析： 级数收敛必要条件是 \(u_n\to 0\)，这里极限为 \(4\ne 0\)，故发散。
考点： 级数收敛必要条件。
求
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{5^n} \]
答案： \(\dfrac14\)
解析： 等比级数，首项 \(a=\frac15\)，公比 \(r=\frac15\)，故
\[ S=\frac{a}{1-r}=\frac{1/5}{1-1/5}=\frac14 \]
考点： 等比级数求和。
当 \(|x|<1\) 时，求级数
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1} \]
的和函数。
答案：
\[ \frac{x}{1-x} \]
解析：
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=x\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x} \]
考点： 几何级数变形。
当 \(|x|<1\) 时，求级数
\[ \sum_{n=2}^{\infty}x^n \]
的和函数。
答案：
\[ \frac{x^2}{1-x} \]
解析：
\[ \sum_{n=2}^{\infty}x^n=x^2\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{x^2}{1-x} \]
考点： 幂级数和函数。
微分方程
\[ xy^{(5)}+4y-5\sin x=0 \]
是几阶微分方程？
答案： 5 阶
解析： 最高阶导数是 \(y^{(5)}\)。
考点： 微分方程阶数判断。
微分方程
\[ y''+x^3y+5x=0 \]
是几阶微分方程？
答案： 2 阶
解析： 最高阶导数为 \(y''\)。
考点： 微分方程阶数。
通过点 \((2,-1,1)\) 且平行于 \(xoz\) 面的平面方程为
答案： \(y=-1\)
解析： 平行于 \(xoz\) 面的平面形如 \(y=c\)。
考点： 特殊平面方程。
按题面识别：\(f(x,y)=\sin(x+y)\)，则
\[ f\left(0,\frac\pi2\right)= \]
答案： \(1\)
解析：
\[ f\left(0,\frac\pi2\right)=\sin\frac\pi2=1 \]
考点： 二元函数求值。
函数
\[ z=\sqrt{x^2+y^2-4} \]
的定义域为
答案：
\[ \{(x,y)\mid x^2+y^2\ge 4\} \]
解析： 根式有意义要求 \(x^2+y^2-4\ge 0\)。
考点： 多元函数定义域。
求极限
\[ \lim_{x\to0,\,y\to0}\frac{\sin(xy)}{y} \]
答案： \(0\)
解析：
\[ \frac{\sin(xy)}{y}=x\cdot \frac{\sin(xy)}{xy}\to 0\cdot 1=0 \]
考点： 凑 \(\sin u/u\) 极限。
垂直于 \(x\) 轴且经过点 \((4,-5,2)\) 的平面方程为
答案： \(x=4\)
解析： 平面法向量平行于 \(x\) 轴，故平面方程为 \(x=c\)。
考点： 平面与坐标轴垂直关系。
若级数 \(\sum u_n\) 收敛，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=\)
答案： \(0\)
解析： 这是级数收敛的必要条件。
考点： 级数基本结论。
设 \(f(x,y)=e^{xy}\)，求 \(f_x(1,2)\)。
答案： \(2e^2\)
解析：
\[ f_x=ye^{xy} \]
代入 \((1,2)\) 得
\[ f_x(1,2)=2e^2 \]
考点： 偏导数计算。
求极限
\[ \lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{\sin(xy)}{x+y} \]
答案： \(0\)
解析： 直接代入：分子趋于 \(\sin 0=0\)，分母趋于 \(1\)。
考点： 连续函数复合极限。
设 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le16\}\)，求
\[ \iint_D dxdy \]
答案： \(16\pi\)
解析： 圆盘面积为
\[ \pi\cdot 4^2=16\pi \]
考点： 二重积分表示面积。
求极限
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n!} \]
答案： \(0\)
解析： 阶乘增长快于任何幂函数，故极限为 \(0\)。
考点： 阶乘与幂函数增长速度比较。
求极限
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2^n} \]
答案： \(0\)
解析： 指数函数增长快于多项式。
考点： 指数与多项式比较。
判断级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n} \]
的敛散性。
答案： 发散
解析：
\[ \sum\frac1{2n}=\frac12\sum\frac1n \]
调和级数发散，所以原级数发散。
考点： 与调和级数比较。
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^n= \]
\[ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}= \]
答案：
\[ \frac1{1-x} \]
\[ \frac1{(1-x)^2} \]
\[ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]
解析： - (1) 是基本几何级数。 - (2) 由 (1) 两边求导得到。 - (3) 是 \(e^x\) 的麦克劳林展开。
考点： 常见幂级数公式。
求方程
\[ y'-x^2y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=Ce^{x^3/3} \]
解析： 分离变量：
\[ \frac{dy}{y}=x^2dx \]
积分得
\[ \ln|y|=\frac{x^3}{3}+C \]
故
\[ y=Ce^{x^3/3} \]
考点： 可分离变量方程。
求方程
\[ y'-x^3y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=Ce^{x^4/4} \]
解析： 同上，
\[ \frac{dy}{y}=x^3dx Rightarrow \ln|y|=\frac{x^4}{4}+C \]
考点： 一阶齐次线性 / 可分离方程。
微分方程
\[ y'''+xy=1 \]
是几阶微分方程？
答案： 3 阶
解析： 最高阶导数是 \(y'''\)。
考点： 阶数判断。
微分方程
\[ y''+\bigl(x+xy^2\bigr)e^x=y' \]
是几阶微分方程？
答案： 2 阶
解析： 最高阶导数是 \(y''\)。
考点： 微分方程阶数判断。
点 \(A(4,1,3)\) 到点 \(B(3,0,1)\) 的距离为
答案： \(\sqrt6\)
解析：
\[ AB=\sqrt{(4-3)^2+(1-0)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6 \]
考点： 空间距离。
点 \((a,b,c)\) 关于原点的对称点是
答案： A，即 \((-a,-b,-c)\)
解析： 关于原点中心对称，三个坐标都变号。
考点： 空间点对称。
“函数在点 \((x_0,y_0)\) 连续”是“该点偏导数存在”的什么条件？
答案： D，无关条件
解析： 连续不一定偏导存在，偏导存在也不一定连续，因此既不是充分也不是必要。
考点： 连续与偏导存在的关系。
“函数在点 \((x_0,y_0)\) 连续”是“该点可微”的什么条件？
答案： C，必要条件
解析： 可微必连续，但连续不一定可微。
考点： 可微与连续关系。
偏导数 \(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\) 存在是函数在该点可微的什么条件？
答案： A，必要条件
解析： 可微一定偏导存在；但偏导存在不一定可微。
考点： 可微的必要条件。
在一点具有偏导数是函数在该点连续的什么条件？
答案： D，既非充分也非必要条件
解析： 偏导存在不推连续；连续也不推偏导存在。
考点： 偏导与连续关系。
函数在点连续是偏导数存在的什么条件？
答案： D，既非充分也非必要条件
解析： 同第 35 题。
考点： 基本概念辨析。
函数在某邻域内偏导数存在且连续，是函数在该点可微的什么条件？
答案： B，充分不必要条件
解析： 邻域内偏导连续可推出可微，但可微不一定要求偏导连续。
考点： 可微的常用充分条件。
偏导数存在是函数在一点可微的什么条件？
答案： A，必要条件
解析： 同第 37 题。
考点： 概念重复强化。
已知 \(f(x,y)=e^{xy}\)，则 \(f_{yy}(1,0)=\)
答案： C，即 \(1\)
解析：
\[ f_y=xe^{xy},\qquad f_{yy}=x^2e^{xy} \]
故
\[ f_{yy}(1,0)=1 \]
考点： 二阶偏导。
下列说法正确的是
答案： D
解析： - 极值点不一定是驻点，若偏导不存在则未必是驻点；所以 A、B 不严谨。 - 驻点不一定是极值点，故 C 错。 - 极大值点和极小值点统称极值点，D 对。
考点： 驻点与极值点关系。
交换二次积分次序（按题面识别）
\[ \int_0^1dx\int_0^x f(x,y)dy \]
结果为
答案： A，即
\[ \int_0^1dy\int_y^1 f(x,y)dx \]
解析： 区域为
\[ 0\le y\le x\le 1 \]
换序后为
\[ 0\le y\le1,\quad y\le x\le1 \]
考点： 二重积分换序。
交换积分次序（按题面识别）
\[ \int_0^2dx\int_x^2 f(x,y)dy \]
结果为
答案： D，即
\[ \int_0^2dy\int_0^y f(x,y)dx \]
解析： 区域为
\[ 0\le x\le 2,\quad x\le y\le 2 \]
换序后
\[ 0\le y\le2,\quad 0\le x\le y \]
考点： 画图换序。
设 \(D: x^2+y^2\le 3\)，则
\[ \iint_D f(x,y)d\sigma \]
化为极坐标应为
答案： 含 Jacobian 因子 \(r\) 的那个选项，即
\[ \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt3}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta \]
考点： 极坐标变换记得乘 \(r\)。
判断级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1{n+2} \]
答案： A，条件收敛
解析： 它是交错级数，满足莱布尼茨判别法收敛；但绝对值级数
\[ \sum\frac1{n+2} \]
与调和级数同敛散，发散。
考点： 绝对收敛与条件收敛。
判断级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1{2n+3} \]
答案： B，条件收敛
解析： 同样为交错级数收敛，但绝对值级数发散。
考点： 交错级数判别。
下列哪个是可分离变量微分方程？
答案： A，按题面识别为
\[ y'=x^2-5y \]
若按 OCR 严格看并不完全标准；通常本题标准答案应选能整理成 \(g(y)dy=f(x)dx\) 的一项。
说明： 该题 OCR 失真较明显，建议以课堂原题为准。
考点： 可分离变量识别。
微分方程
\[ y''=6x \]
的通解是
答案： A，即
\[ y=x^3+C_1x+C_2 \]
解析： 连续积分两次即可。
考点： 二阶简单微分方程求通解。
已知 \(f(x,y)=e^x+\sin y\)，则 \(f_{xx}(0,1)=\)
答案： C，即 \(1\)
解析：
\[ f_x=e^x,\quad f_{xx}=e^x \]
故
\[ f_{xx}(0,1)=e^0=1 \]
考点： 二阶偏导。
若函数在 \((x_0,y_0)\) 处取得极值，且偏导存在，则
答案： B，即
\[ f_x(x_0,y_0)=0,\qquad f_y(x_0,y_0)=0 \]
解析： 极值点若偏导存在，则必为驻点。
考点： 极值必要条件。
判断级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1{2n+1} \]
答案： B，条件收敛
解析： 交错收敛，绝对值级数发散。
考点： 交错 \(p\) 型级数。
哪个是可分离变量方程？
答案： OCR 不清，通常应选可整理为
\[ y'=X(x)Y(y) \]
的选项。
说明： 这题原 PDF 识别错误较重，建议对照老师原卷判断。
考点： 可分离变量形式识别。
交换积分次序：
\[ \int_0^1dx\int_x^1 f(x,y)dy= \]
答案：
\[ \int_0^1dy\int_0^y f(x,y)dx \]
解析： 区域为
\[ 0\le x\le y\le1 \]
换序后即上式。
考点： 二重积分换序。
微分方程
\[ y''=2 \]
的通解是
答案： B，即
\[ y=x^2+C_1x+C_2 \]
解析：
\[ y'=2x+C_1,\qquad y=x^2+C_1x+C_2 \]
考点： 直接积分法。
设
\[ z=e^{x^2}\sin 2y \]
求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=2xe^{x^2}\sin 2y \]
\[ z_y=2e^{x^2}\cos 2y \]
解析： 分别对 \(x,y\) 求偏导。
考点： 指数函数与三角函数复合偏导。
设
\[ z=e^{-y}\cos x^2 \]
求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=-2x e^{-y}\sin x^2 \]
\[ z_y=-e^{-y}\cos x^2 \]
解析：
\[ \frac{\partial}{\partial x}(\cos x^2)=-2x\sin x^2 \]
\[ \frac{\partial}{\partial y}(e^{-y})=-e^{-y} \]
考点： 链式法则。
设
\[ f(x,y)=\ln(x^2+y) \]
求 \(f_x,f_y\)。
答案：
\[ f_x=\frac{2x}{x^2+y},\qquad f_y=\frac{1}{x^2+y} \]
解析： 对数求导配合链式法则。
考点： 对数复合函数偏导。
已知
\[ z=x^2y^4 \]
求 \(z_x,z_y,z_{xy},z_{yy}\)。
答案：
\[ z_x=2xy^4 \]
\[ z_y=4x^2y^3 \]
\[ z_{xy}=8xy^3 \]
\[ z_{yy}=12x^2y^2 \]
解析： 逐次求偏导即可。
考点： 一阶、二阶偏导计算。
已知
\[ z=x^3y^2+x^2y-5xy \]
求 \(z_x,z_y,z_{xy},z_{yy}\)。
答案：
\[ z_x=3x^2y^2+2xy-5y \]
\[ z_y=2x^3y+x^2-5x \]
\[ z_{xy}=6x^2y+2x-5 \]
\[ z_{yy}=2x^3 \]
解析： 按项分别求导。
考点： 多项式函数偏导。
已知
\[ z=x^3y^2+y^3-6xy \]
求 \(z_x,z_y,z_{xy},z_{yy}\)。
答案：
\[ z_x=3x^2y^2-6y \]
\[ z_y=2x^3y+3y^2-6x \]
\[ z_{xy}=6x^2y-6 \]
\[ z_{yy}=2x^3+6y \]
解析： 连续求偏导即可。
考点： 二阶偏导综合。
由方程
\[ z^2-x^2-y^2=1 \]
确定隐函数 \(z=f(x,y)\)，求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=\frac{x}{z},\qquad z_y=\frac{y}{z} \]
解析： 令
\[ F(x,y,z)=z^2-x^2-y^2-1=0 \]
则
\[ F_x=-2x,\quad F_y=-2y,\quad F_z=2z \]
所以
\[ z_x=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{x}{z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{y}{z} \]
考点： 隐函数偏导公式。
由方程
\[ xy+yz+xz=2 \]
确定隐函数 \(z=f(x,y)\)，求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=-\frac{y+z}{x+y},\qquad z_y=-\frac{x+z}{x+y} \]
解析： 见前面同类题。
考点： 隐函数求偏导。
由方程
\[ x^2+y^2+z^2-z=1 \]
确定隐函数 \(z=f(x,y)\)，求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=-\frac{2x}{2z-1},\qquad z_y=-\frac{2y}{2z-1} \]
解析： 设
\[ F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-z-1=0 \]
则
\[ F_x=2x,\quad F_y=2y,\quad F_z=2z-1 \]
故
\[ z_x=-\frac{2x}{2z-1},\qquad z_y=-\frac{2y}{2z-1} \]
考点： 隐函数求导。
由方程
\[ x^2+y^2+z^2=4z \]
确定隐函数 \(z=f(x,y)\)，求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=-\frac{x}{z-2},\qquad z_y=-\frac{y}{z-2} \]
解析： 设
\[ F=x^2+y^2+z^2-4z=0 \]
则
\[ F_x=2x,\ F_y=2y,\ F_z=2z-4 \]
所以
\[ z_x=-\frac{2x}{2z-4}=-\frac{x}{z-2} \]
\[ z_y=-\frac{2y}{2z-4}=-\frac{y}{z-2} \]
考点： 隐函数偏导。
设
\[ z=\ln(x^2+y^2) \]
求全微分 \(dz\)。
答案：
\[ dz=\frac{2x}{x^2+y^2}dx+\frac{2y}{x^2+y^2}dy \]
考点： 全微分。
设
\[ z=\sin(x-y) \]
求全微分 \(dz\)。
答案：
\[ dz=\cos(x-y)dx-\cos(x-y)dy \]
考点： 三角函数全微分。
由方程
\[ z^3-xyz=1 \]
确定隐函数 \(z=f(x,y)\)，求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=\frac{yz}{3z^2-xy},\qquad z_y=\frac{xz}{3z^2-xy} \]
解析： 设
\[ F(x,y,z)=z^3-xyz-1=0 \]
则
\[ F_x=-yz,\quad F_y=-xz,\quad F_z=3z^2-xy \]
故
\[ z_x=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{yz}{3z^2-xy} \]
\[ z_y=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{xz}{3z^2-xy} \]
考点： 隐函数求偏导。
交换积分次序：
\[ \int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy \]
答案：
\[ \int_0^1dy\int_0^y f(x,y)dx \]
解析： 与第 55 题相同。
考点： 二重积分换序。
计算
\[ \iint_D x^2\,dxdy \]
其中 \(D\) 为坐标轴与直线 \(x+y=1\) 围成的闭区域。
答案：
\[ \frac1{12} \]
解析：
\[ \iint_Dx^2d\sigma=\int_0^1\int_0^{1-x}x^2dydx =\int_0^1x^2(1-x)dx =\frac1{12} \]
考点： 三角形区域上的二重积分。
计算
\[ \iint_D y\,dxdy \]
其中 \(D\) 为坐标轴与直线 \(x+y=1\) 围成的闭区域。
答案：
\[ \frac16 \]
解析：
\[ \iint_D yd\sigma=\int_0^1\int_0^{1-x}ydydx =\int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}dx=\frac16 \]
考点： 累次积分计算。
计算
\[ \iint_D xy^2\,d\sigma \]
其中 \(D\) 是由直线 \(y=x,y=1,x=2\) 围成的三角形区域。
答案：
\[ \frac{49}{30} \]
解析： 区域可写为
\[ 1\le x\le2,\quad 1\le y\le x \]
故
\[ \int_1^2\int_1^xxy^2dydx =\int_1^2x\cdot\frac{x^3-1}{3}dx =\frac13\int_1^2(x^4-x)dx =\frac{49}{30} \]
考点： 画区域、定积分限。
计算
\[ \iint_D (x^2+y)\,d\sigma \]
其中 \(D\) 是由两坐标轴及直线 \(x+y=1\) 围成的闭区域。
答案：
\[ \frac14 \]
解析：
\[ \iint_D(x^2+y)d\sigma =\int_0^1\int_0^{1-x}(x^2+y)dydx \]
先积 \(y\)：
\[ =\int_0^1\left[x^2(1-x)+\frac{(1-x)^2}{2}\right]dx \]
化简积分得
\[ \frac14 \]
考点： 多项式二重积分。
计算
\[ \iint_D xy\,d\sigma \]
其中区域 \(D\) 是由直线 \(y=x,x=1\) 与 \(x\) 轴围成的三角形区域。
答案：
\[ \frac18 \]
解析： 区域为
\[ 0\le x\le1,\quad 0\le y\le x \]
故
\[ \int_0^1\int_0^x xydydx =\int_0^1x\cdot\frac{x^2}{2}dx =\frac12\int_0^1x^3dx =\frac18 \]
考点： 三角形积分区域。
计算
\[ \iint_D(x^2+y^2)d\sigma \]
其中
\[ D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le2\} \]
答案：
\[ \frac{3\pi}{2} \]
解析： 极坐标下
\[ x^2+y^2=r^2, \qquad d\sigma=rdrd\theta \]
故
\[ \iint_D(x^2+y^2)d\sigma =\int_0^{2\pi}\int_1^{\sqrt2}r^2\cdot r\,drd\theta \]
\[ =2\pi\int_1^{\sqrt2}r^3dr =2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_1^{\sqrt2} =\frac{3\pi}{2} \]
考点： 环域极坐标积分。
写出：级数 \(\sum u_n\) 收敛的必要条件；等比级数、调和级数、\(p\)-级数的敛散性结论。
答案：
\[ \lim_{n\to\infty}u_n=0 \]
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \]
发散。
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \]
考点： 无穷级数最基础结论。
判别若干级数的敛散性（原题为综合小题）。
可直接记忆的标准答案模板：
说明： 第 78 题原 PDF 子题 OCR 失真较大，这里给出对应常见题型的标准判断方法。若你需要，我可以下一步把第 78 题单独拆成“每个子题逐一判别版”。
考点： 比较判别、比值判别、交错级数、一般项判别。
指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛（原题为综合小题）。
标准结论模板：
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1{2n-1} \]
条件收敛。
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2} \]
绝对收敛，因为
\[ \left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right|\le \frac1{n^2} \]
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1n \]
条件收敛。
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1{n^2} \]
绝对收敛。
考点： 绝对收敛判别优先看绝对值级数。
求幂级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+3} \]
的收敛半径与收敛域。
答案：
\[ R=1 \]
收敛区间为 \([-1,1)\) 还是 \((-1,1]\) 需单独验端点： - \(x=1\) 时，\(\sum \frac1{n+3}\) 发散 - \(x=-1\) 时，\(\sum \frac{(-1)^n}{n+3}\) 收敛
故收敛域为
\[ [-1,1) \]
考点： 端点单独讨论。
求幂级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n \]
的收敛半径与收敛域。
答案：
\[ R=1 \]
端点： - \(x=1\) 时为交错调和级数，收敛 - \(x=-1\) 时为 \(-\sum\frac1n\)，发散
故收敛域为
\[ (-1,1] \]
考点： 对数型幂级数。
求幂级数
\[ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^n x^n \]
的收敛半径与收敛域。
答案：
\[ R=\frac12 \]
收敛域为
\[ \left(-\frac12,\frac12\right) \]
解析： 这是公比为 \(-2x\) 的等比级数，要求 \(|2x|<1\)。
考点： 几何型幂级数。
求幂级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}5^n x^n \]
的收敛半径与收敛域。
答案：
\[ R=\frac15 \]
收敛域为
\[ \left(-\frac15,\frac15\right) \]
解析： 等比级数，要求 \(|5x|<1\)。
考点： 等比幂级数。
求幂级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+2} \]
的收敛半径与收敛域。
答案：
\[ R=1 \]
端点讨论同调和型： - \(x=1\) 发散 - \(x=-1\) 条件收敛
故收敛域为
\[ [-1,1) \]
考点： 系数为 \(1/n\) 量级的幂级数。
求幂级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}n x^n \]
的收敛半径与收敛域。
答案：
\[ R=1 \]
端点 \(x=\pm1\) 时一般项不趋于零，因此都发散。
故收敛域为
\[ (-1,1) \]
考点： 比值法求收敛半径。
求微分方程
\[ y'-y=e^x \]
的通解。
答案：
\[ y=e^x(x+C) \]
解析： 这是线性方程
\[ y'-y=e^x \]
积分因子 \(\mu=e^{-x}\)，故
\[ (e^{-x}y)'=1 Rightarrow e^{-x}y=x+C \]
所以
\[ y=e^x(x+C) \]
考点： 一阶线性方程。
求微分方程
\[ y'+y=e^{-2x} \]
的通解。
答案：
\[ y=\frac{1}{-1}e^{-2x}+Ce^{-x}=e^{-2x}(-1)+Ce^{-x} \]
即
\[ y=-e^{-2x}+Ce^{-x} \]
解析： 积分因子为 \(e^x\)，有
\[ (e^xy)'=e^{-x} Rightarrow e^xy=-e^{-x}+C \]
考点： 一阶线性微分方程。
求微分方程
\[ y'+\frac1x y=\frac{\cos x}{x} \]
的通解。
答案：
\[ y=\sin x+\frac{C}{x} \]
解析： 积分因子
\[ \mu(x)=e^{\int \frac1x dx}=x \]
故
\[ (xy)'=\cos x Rightarrow xy=\sin x+C \]
所以
\[ y=\frac{\sin x+C}{x}=\sin x\cdot\frac1x+\frac Cx \]
按题面常见标准写法为
\[ y=\frac{\sin x+C}{x} \]
考点： 变系数线性方程。
求微分方程
\[ \frac{dy}{dx}+y=e^{3x} \]
的通解。
答案：
\[ y=\frac14e^{3x}+Ce^{-x} \]
解析： 积分因子为 \(e^x\)，则
\[ (e^xy)'=e^{4x} Rightarrow e^xy=\frac14e^{4x}+C \]
故
\[ y=\frac14e^{3x}+Ce^{-x} \]
考点： 一阶线性方程。
求微分方程
\[ y''+y'-6y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x} \]
解析： 特征方程
\[ r^2+r-6=0 Rightarrow (r-2)(r+3)=0 \]
考点： 二阶常系数齐次方程。
求微分方程
\[ y''+2y'+3y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=e^{-x}(C_1\cos\sqrt2x+C_2\sin\sqrt2x) \]
解析： 特征方程
\[ r^2+2r+3=0 Rightarrow r=-1\pm \sqrt2 i \]
考点： 复根情形。
求方程
\[ y''+3y'+4y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=e^{-\frac32x}\left(C_1\cos\frac{\sqrt7}{2}x+C_2\sin\frac{\sqrt7}{2}x\right) \]
解析： 特征方程
\[ r^2+3r+4=0 \]
判别式为 \(9-16=-7\)。
考点： 常系数二阶齐次方程。
求方程
\[ y''+4y'+5y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=e^{-2x}(C_1\cos x+C_2\sin x) \]
解析： 特征方程
\[ r^2+4r+5=0 Rightarrow r=-2\pm i \]
考点： 复根型通解。
求方程
\[ y''-5y'+6y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x} \]
解析： 特征方程
\[ r^2-5r+6=0 Rightarrow (r-2)(r-3)=0 \]
考点： 实根型通解。
求方程
\[ y''-2y'-8y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x} \]
解析： 特征方程
\[ r^2-2r-8=0 Rightarrow (r-4)(r+2)=0 \]
考点： 二阶常系数齐次微分方程。
某企业生产两种产品，产量分别为 \(x,y\)，总成本函数按题面识别为
\[ C(x,y)=x^2+3xy+2y^2+5+60 \]
若两种产品共生产 30 件，问每种产品各生产多少时，总成本最小？
答案：
\[ x=15,\qquad y=15 \]
说明： 原题 OCR 中成本函数中常数项与系数位置略有错位，此题按常见对称二次型最值模型整理。
标准做法： 由约束 \(x+y=30\)，令 \(y=30-x\)，代入化为一元二次函数，再求导或配方求最小值。
考点： 约束条件下二元最值转化为一元最值。
某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为 \(x,y\) 件，总成本函数为
\[ C(x,y)=x^2-xy+y^2+1000 \]
要求每天总量为 \(40\) 件，求成本最低时的产量分配。
答案：
\[ x=20,\qquad y=20 \]
解析： 由 \(x+y=40\)，得 \(y=40-x\)，代入：
\[ C(x)=x^2-x(40-x)+(40-x)^2+1000 \]
化简：
\[ C(x)=3x^2-120x+2600 \]
求导得
\[ C'(x)=6x-120=0 Rightarrow x=20 \]
故 \(y=20\)。
考点： 约束最小成本问题。
某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为 \(x,y\) 万件，其利润函数为
\[ f(x,y)=20x+14y-32x^2-8y^2-2xy-10 \]
若要求每天生产总量为 2 万件，求利润最大时的产量分配。
答案：
\[ x=\frac{11}{19},\qquad y=\frac{27}{19} \]
解析： 由约束 \(x+y=2\)，令 \(y=2-x\)，代入：
\[ f(x)=20x+14(2-x)-32x^2-8(2-x)^2-2x(2-x)-10 \]
化简：
\[ f(x)=-38x^2+44x-14 \]
求导：
\[ f'(x)=-76x+44=0 Rightarrow x=\frac{11}{19} \]
故
\[ y=2-\frac{11}{19}=\frac{27}{19} \]
考点： 利润最大化，代入约束化一元二次函数。
已知总利润函数
\[ f(x,y)=-x^2-y^2+4x+6y+9 \]
其中 \(x,y\) 分别为甲、乙的日销量，且每天销售总量为 3，求总利润最大时的销量及最大利润。
答案：
\[ x=1,\qquad y=2 \]
最大利润为
\[ 20 \]
解析： 由约束 \(x+y=3\)，令 \(y=3-x\)，代入得
\[ f(x)=-x^2-(3-x)^2+4x+6(3-x)+9 \]
化简：
\[ f(x)=-2x^2+4x+18 \]
求导：
\[ f'(x)=-4x+4=0 Rightarrow x=1 \]
故 \(y=2\)。
代回得
\[ f(1,2)=20 \]
考点： 约束最大利润问题。
已知总利润函数
\[ f(x,y)=-x^2-y^2+4x+16y+9 \]
其中 \(x,y\) 分别表示产品 A、B 的日销量，且每天总销量为 4，求总利润最大时的销量及最大利润。
答案：
\[ x=0,\qquad y=4 \]
最大利润为
\[ 57 \]
解析： 由 \(x+y=4\)，令 \(y=4-x\)，则
\[ f(x)=-x^2-(4-x)^2+4x+16(4-x)+9 \]
化简：
\[ f(x)=-2x^2-4x+57 \]
求导：
\[ f'(x)=-4x-4 Rightarrow x=-1 \]
该点不满足实际销量非负约束，因此比较可行区间 \([0,4]\) 端点： - \(x=0,y=4\) 时，\(f=57\) - \(x=4,y=0\) 时，\(f=9\)
故最大利润为 \(57\)，在 \((0,4)\) 处取得。
考点： 实际约束下的经济最值问题。
如果你愿意，我下一步可以继续帮你做：