依据上传的《经济数学2》复习题整理，内容覆盖：空间解析几何、多元函数极限与连续、偏导数与全微分、二重积分、无穷级数、幂级数、常微分方程、条件极值与经济应用。
空间中两点 \(A(x_1,y_1,z_1)\)、\(B(x_2,y_2,z_2)\) 的距离为
\[ AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \]
\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]
点 \((a,b,c)\) 关于原点对称的点为 \((-a,-b,-c)\)。
若函数中出现： - 根式：被开方数 \(\ge 0\) - 分母：分母 \(\ne 0\) - 对数：真数 \(>0\)
例如：
\[ z=\sqrt{x^2+y^2-4} \]
定义域为
\[ x^2+y^2\ge 4 \]
常用结论： - 若可直接代入且分母不为零，则直接代入。 - 含 \(\sin u/u\) 型时，优先凑极限 \(\lim\limits_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1\)。 - 对于
\[ \frac{x^m y^n}{x^2+y^2} \]
常用极坐标或放缩法判断。
这是考试最常见的概念判断题来源。
设 \(z=f(x,y)\)，则
\[ \frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y),\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y) \]
求偏导时，把另一个变量看作常数。
常见四个：
\[ f_{xx},\quad f_{xy},\quad f_{yx},\quad f_{yy} \]
若条件满足，通常有
\[ f_{xy}=f_{yx} \]
若 \(z=f(x,y)\) 可微，则
\[ dz=f_x\,dx+f_y\,dy \]
若 \(F(x,y,z)=0\) 确定隐函数 \(z=z(x,y)\)，则
\[ z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z} \]
前提是 \(F_z\ne 0\)。
\[ \iint_D f(x,y)\,d\sigma \]
若区域 \(D\) 可表示为
\[ a\le x\le b,\quad \varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x) \]
则
\[ \iint_D f(x,y)\,d\sigma=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right]dx \]
交换积分次序时，关键是先画区域，再重写上下限。
\[ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad d\sigma=r\,dr\,d\theta \]
圆域、环域题优先考虑极坐标。
常见圆域： - \(x^2+y^2\le R^2\) 对应 \(0\le r\le R,\ 0\le \theta\le 2\pi\) - \(a^2\le x^2+y^2\le b^2\) 对应 \(a\le r\le b,\ 0\le \theta\le 2\pi\)
若级数 \(\sum u_n\) 收敛，则
\[ \lim_{n\to\infty}u_n=0 \]
注意：\(u_n\to 0\) 只是必要条件，不是充分条件。
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \]
发散。
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \]
常用：比较判别法、极限比较判别法、比值判别法。
若 \(\sum (-1)^{n-1}a_n\) 满足 - \(a_n\ge 0\) - \(a_n\) 单调递减 - \(a_n\to 0\)
则级数收敛。
一般形式：
\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]
常用比值法或根值法求收敛半径 \(R\)。
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x},\qquad |x|<1 \]
\[ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2},\qquad |x|<1 \]
\[ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]
微分方程中出现的最高阶导数的阶数，就是方程的阶数。
形如
\[ \frac{dy}{dx}=g(x)h(y) \]
可写成
\[ \frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx \]
两边积分。
标准形式：
\[ y'+P(x)y=Q(x) \]
积分因子：
\[ \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} \]
通解：
\[ y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right] \]
\[ y''+ay'+by=0 \]
特征方程：
\[ r^2+ar+b=0 \]
\[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} \]
\[ y=(C_1+C_2x)e^{rx} \]
\[ y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) \]
若 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处取得极值，且偏导存在，则
\[ f_x(x_0,y_0)=0,\qquad f_y(x_0,y_0)=0 \]
该点称为驻点。
当有约束 \(x+y=c\) 时，常用代入法：令 \(y=c-x\)，化为一元函数后求最值。
经济应用中常见： - 总成本最小 - 总利润最大 - 固定产量条件下最优生产分配
下面题目按原复习题知识模块重组，适合作为考前刷题资料。
点 \(A(0,0,0)\) 到点 \(B(1,3,1)\) 的距离是多少？
答案：
\[ \sqrt{11} \]
解析： 由两点间距离公式，
\[ AB=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11} \]
考点点拨： 直接套空间两点距离公式，注意是三维，不要漏掉 \(z\) 坐标。
点 \(A(0,1,2)\) 到点 \(B(3,1,5)\) 的距离是多少？
答案：
\[ 3\sqrt2 \]
解析：
\[ AB=\sqrt{(3-0)^2+(1-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{9+0+9}=3\sqrt2 \]
考点点拨： 若某一坐标相同，则对应差为 \(0\)。
通过点 \((1,-2,0)\) 且平行于 \(yoz\) 面的平面方程是什么？
答案：
\[ x=1 \]
解析： 平行于 \(yoz\) 面的平面都形如 \(x=c\)。代入点坐标得 \(c=1\)。
考点点拨： - 平行于 \(yoz\) 面：\(x=\) 常数 - 平行于 \(xoz\) 面：\(y=\) 常数 - 平行于 \(xoy\) 面：\(z=\) 常数
通过点 \((2,-1,1)\) 且平行于 \(xoz\) 面的平面方程是什么？
答案：
\[ y=-1 \]
解析： 平行于 \(xoz\) 面的平面形如 \(y=c\)，代入点坐标得 \(c=-1\)。
考点点拨： 判断“平行于哪个坐标面”本质上就是看哪个坐标保持常数。
垂直于 \(x\) 轴且经过点 \((4,-5,2)\) 的平面方程是什么？
答案：
\[ x=4 \]
解析： 垂直于 \(x\) 轴意味着法向量平行于 \(x\) 轴，因此平面方程形如 \(x=c\)。过点 \((4,-5,2)\)，故 \(x=4\)。
考点点拨： “垂直于某坐标轴”的平面，法向量就沿该坐标轴方向。
点 \((a,b,c)\) 关于原点的对称点是什么？
答案：
\[ (-a,-b,-c) \]
解析： 关于原点中心对称，就是三个坐标同时变号。
考点点拨： 关于坐标轴、坐标面、原点的对称变换是选择题常考点。
求函数 \(z=\sqrt{x^2+y^2-4}\) 的定义域。
答案：
\[ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\ge 4\} \]
解析： 根式有意义要求
\[ x^2+y^2-4\ge 0 \]
即
\[ x^2+y^2\ge 4 \]
考点点拨： 定义域题优先看根式、分母、对数真数。
求极限
\[ \lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{\sin(xy)}{x+y} \]
答案：
\[ 0 \]
解析： 当 \((x,y)\to(0,1)\) 时，
\[ xy\to 0,\qquad x+y\to 1 \]
因此
\[ \frac{\sin(xy)}{x+y}\to \frac{\sin 0}{1}=0 \]
考点点拨： 若分母极限不为零，可直接代入。
求极限
\[ \lim_{x\to 0,\,y\to 0}\frac{\sin(xy)}{y} \]
答案：
\[ 0 \]
解析： 改写为
\[ \frac{\sin(xy)}{y}=x\cdot \frac{\sin(xy)}{xy} \]
当 \(x\to 0,y\to 0\) 时，
\[ \frac{\sin(xy)}{xy}\to 1 \]
故原极限为
\[ \lim x\cdot 1=0 \]
考点点拨： 看到 \(\sin(\cdot)\)，优先凑 \(\sin u/u\)。
判断下列命题：函数在一点可微，是否一定连续？
答案： 一定连续。
解析： 多元函数理论中，可微是比连续更强的条件，因此
\[ \text{可微} \Rightarrow \text{连续} \]
考点点拨： 概念链条要记牢：
\[ \text{偏导连续于邻域} \Rightarrow \text{可微} \Rightarrow \text{连续} \]
判断：函数在一点偏导数存在，是否一定连续？
答案： 不一定。
解析： 偏导数存在只说明沿坐标轴方向变化可考察，并不能保证任意方向都连续。
考点点拨： 这类题经常考“充分/必要/既非充分也非必要”。
设
\[ f(x,y)=e^{xy} \]
求 \(f_x(1,2)\)。
答案：
\[ 2e^2 \]
解析：
\[ f_x=y e^{xy} \]
所以
\[ f_x(1,2)=2e^2 \]
考点点拨： 链式法则是偏导题核心：对 \(e^{xy}\) 求偏导时要乘上指数 \(xy\) 对应变量的偏导。
设
\[ f(x,y)=e^{xy} \]
求 \(f_{yy}(1,0)\)。
答案：
\[ 0 \]
解析： 先求一阶偏导：
\[ f_y=xe^{xy} \]
再对 \(y\) 求偏导：
\[ f_{yy}=x^2e^{xy} \]
代入 \((1,0)\)：
\[ f_{yy}(1,0)=1^2\cdot e^0=1 \]
考点点拨： 原题库中这类选择题很常见，容易把二阶偏导漏乘一个 \(x\)。注意：本题正确值是 \(1\)。
设
\[ z=e^{x^2-2y}\sin 2y \]
求 \(z_x\) 与 \(z_y\)。
答案：
\[ z_x=2x e^{x^2-2y}\sin 2y \]
\[ z_y=e^{x^2-2y}(2\cos 2y-2\sin 2y) \]
解析： 对 \(x\) 求偏导时，\(y\) 看作常数：
\[ z_x=e^{x^2-2y}\sin 2y\cdot 2x \]
对 \(y\) 求偏导时用乘积法则：
\[ z_y=(-2)e^{x^2-2y}\sin 2y+e^{x^2-2y}\cdot 2\cos 2y \]
整理即得结果。
考点点拨： 指数函数和三角函数混合题，最容易丢的是乘积法则。
设
\[ f(x,y)=\ln(x^2+y) \]
求 \(f_x\) 与 \(f_y\)。
答案：
\[ f_x=\frac{2x}{x^2+y},\qquad f_y=\frac{1}{x^2+y} \]
解析： 利用对数求导公式：
\[ (\ln u)'=\frac{u'}u \]
这里 \(u=x^2+y\)，所以可直接得到结果。
考点点拨： 先把“外层函数”与“内层函数”分清楚，再套链式法则。
设
\[ z=\ln(x^2+y^2) \]
求全微分 \(dz\)。
答案：
\[ dz=\frac{2x}{x^2+y^2}dx+\frac{2y}{x^2+y^2}dy \]
解析： 先求偏导：
\[ z_x=\frac{2x}{x^2+y^2},\qquad z_y=\frac{2y}{x^2+y^2} \]
因此
\[ dz=z_xdx+z_ydy \]
考点点拨： 求全微分的模板非常固定：先偏导，再代入 \(dz=f_xdx+f_ydy\)。
设
\[ z=\sin(x-y) \]
求全微分 \(dz\)。
答案：
\[ dz=\cos(x-y)\,dx-\cos(x-y)\,dy \]
解析：
\[ z_x=\cos(x-y),\qquad z_y=-\cos(x-y) \]
故
\[ dz=\cos(x-y)dx-\cos(x-y)dy \]
考点点拨： 对 \(y\) 求偏导时，\(x-y\) 对 \(y\) 的导数是 \(-1\)，不要漏负号。
由方程
\[ x^2+y^2+z^2=1 \]
确定隐函数 \(z=z(x,y)\)，求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=-\frac{x}{z},\qquad z_y=-\frac{y}{z} \]
解析： 令
\[ F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0 \]
则
\[ F_x=2x,\quad F_y=2y,\quad F_z=2z \]
因此
\[ z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z} \]
\[ z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{2y}{2z}=-\frac{y}{z} \]
考点点拨： 隐函数求导最稳的方法不是硬微分，而是直接套公式。
由方程
\[ xy+yz+xz=2 \]
确定隐函数 \(z=z(x,y)\)，求 \(z_x,z_y\)。
答案：
\[ z_x=-\frac{y+z}{x+y},\qquad z_y=-\frac{x+z}{x+y} \]
解析： 令
\[ F(x,y,z)=xy+yz+xz-2=0 \]
则
\[ F_x=y+z,\qquad F_y=x+z,\qquad F_z=x+y \]
所以
\[ z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{y+z}{x+y} \]
\[ z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{x+z}{x+y} \]
考点点拨： 遇到含 \(xy,yz,xz\) 的隐函数题，偏导几乎都能直接按 \(F_x,F_y,F_z\) 写出来。
设 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 16\}\)，求
\[ \iint_D dxdy \]
答案：
\[ 16\pi \]
解析： 被积函数为 \(1\)，所以积分就是区域面积。区域 \(D\) 是半径为 \(4\) 的圆盘，面积为
\[ \pi\cdot 4^2=16\pi \]
考点点拨： \(\iint_D 1\,d\sigma\) 就是区域面积。
设 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3\}\)，求
\[ \iint_D \frac13\,d\sigma \]
答案：
\[ \pi \]
解析： 区域是半径 \(\sqrt3\) 的圆盘，面积为
\[ 3\pi \]
故
\[ \iint_D \frac13\,d\sigma=\frac13\cdot 3\pi=\pi \]
考点点拨： 常数函数积分可直接写成“常数 × 面积”。
将圆域积分
\[ \iint_D f(x,y)\,d\sigma,\qquad D: x^2+y^2\le 9 \]
化为极坐标积分。
答案：
\[ \int_0^{2\pi}\int_0^3 f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta \]
解析： 圆域半径为 \(3\)，故
\[ 0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le 2\pi \]
且面元变换为 \(d\sigma=rdrd\theta\)。
考点点拨： 极坐标题最重要的是别漏掉 \(r\)。
设 \(D\) 由坐标轴与直线 \(x+y=1\) 围成，求
\[ \iint_D x^2\,d\sigma \]
答案：
\[ \frac1{12} \]
解析： 区域可写为
\[ 0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1-x \]
故
\[ \iint_D x^2\,d\sigma=\int_0^1\int_0^{1-x}x^2\,dy\,dx \]
先对 \(y\) 积分：
\[ =\int_0^1 x^2(1-x)\,dx \]
\[ =\int_0^1(x^2-x^3)dx=\frac13-\frac14=\frac1{12} \]
考点点拨： 三角形区域最容易写成“先 \(y\) 后 \(x\)”的积分限。
设 \(D\) 由坐标轴与直线 \(x+y=1\) 围成，求
\[ \iint_D y\,d\sigma \]
答案：
\[ \frac16 \]
解析：
\[ \iint_D y\,d\sigma=\int_0^1\int_0^{1-x}y\,dy\,dx \]
\[ =\int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}dx=\frac12\int_0^1(1-2x+x^2)dx \]
\[ =\frac12\left(1-1+\frac13\right)=\frac16 \]
考点点拨： 被积函数只含 \(y\) 时，先对 \(y\) 积分通常更方便。
设 \(D\) 由直线 \(y=x,y=1,x=2\) 围成，求
\[ \iint_D xy^2\,d\sigma \]
答案：
\[ \frac{49}{8} \]
解析： 区域可表示为
\[ 1\le x\le 2,\qquad x\le y\le 1 \]
上式写法不合法，说明应先画图重新判断。由三条直线 \(y=x,\ y=1,\ x=2\) 围成的三角形顶点为 \((1,1),(2,1),(2,2)\)，故可写为
\[ 1\le x\le 2,\qquad 1\le y\le x \]
因此
\[ \iint_D xy^2\,d\sigma=\int_1^2\int_1^x xy^2\,dy\,dx \]
\[ =\int_1^2 x\cdot \frac{x^3-1}{3}\,dx \]
\[ =\frac13\int_1^2(x^4-x)dx \]
\[ =\frac13\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac{49}{30} \]
考点点拨： 这类题最关键的是先画区域。写积分限前先确定顶点和上下边界。
设 \(D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 2\}\)，求
\[ \iint_D (x^2+y^2)\,d\sigma \]
答案：
\[ \frac{3\pi}{2} \]
解析： 用极坐标：
\[ x^2+y^2=r^2, \qquad d\sigma=rdrd\theta \]
积分化为
\[ \int_0^{2\pi}\int_1^{\sqrt2}r^2\cdot r\,dr\,d\theta \]
\[ =2\pi\int_1^{\sqrt2}r^3dr =2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_1^{\sqrt2} \]
\[ =2\pi\cdot \frac{4-1}{4}=\frac{3\pi}{2} \]
考点点拨： 环域积分几乎一定考虑极坐标。
若级数 \(\sum u_n\) 收敛，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\) 等于什么？
答案：
\[ 0 \]
解析： 这是级数收敛的必要条件。
考点点拨： 若 \(u_n\) 不趋于 \(0\)，级数一定发散。
已知 \(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=4\)，判断级数 \(\sum u_n\) 的敛散性。
答案： 发散。
解析： 级数收敛必须满足 \(u_n\to 0\)，而这里极限为 \(4\ne 0\)，故必发散。
考点点拨： 这是最快速的判别法：先看一般项极限。
判断级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n} \]
的敛散性。
答案： 发散。
解析：
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n}=\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \]
而调和级数发散，所以该级数也发散。
考点点拨： 常数倍不改变级数敛散性。
求等比级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{5^n} \]
的和。
答案：
\[ \frac14 \]
解析： 首项 \(a=\frac15\)，公比 \(r=\frac15\)，故和为
\[ S=\frac{a}{1-r}=\frac{1/5}{1-1/5}=\frac14 \]
考点点拨： 要先辨认是从 \(n=1\) 还是从 \(n=0\) 开始。
判断级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3} \]
的敛散性。
答案： 收敛。
解析： 这是 \(p\)-级数，\(p=3>1\)，所以收敛。
考点点拨： \(p\)-级数是最基础的比较对象。
判断交错级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1n \]
属于绝对收敛还是条件收敛。
答案： 条件收敛。
解析： 原级数是交错调和级数，满足莱布尼茨判别法，故收敛；但其绝对值级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \]
发散，因此是条件收敛。
考点点拨： “交错 + \(1/n\)”几乎默认想到条件收敛。
判断级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4}{n!} \]
的敛散性。
答案： 收敛。
解析： 阶乘增长快于任何幂函数，可用比值判别法：
设
\[ a_n=\frac{n^4}{n!} \]
则
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^4}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^4}=\frac{(n+1)^3}{n^4}\to 0<1 \]
故收敛。
考点点拨： 出现 \(n!\) 时优先考虑比值判别法。
求幂级数
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^n \]
的和函数。
答案：
\[ \frac1{1-x},\qquad |x|<1 \]
解析： 这是最基本的几何级数。
考点点拨： 一切常见幂级数和函数几乎都从这个公式推出。
求幂级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} \]
的和函数。
答案：
\[ \frac1{(1-x)^2},\qquad |x|<1 \]
解析： 由
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x} \]
两边对 \(x\) 求导得
\[ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2} \]
考点点拨： 导数法是求幂级数和函数的高频技巧。
写出 \(e^x\) 的幂级数展开式。
答案：
\[ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \]
解析： 这是常见基本初等函数的麦克劳林展开式。
考点点拨： \(e^x,\sin x,\cos x,\ln(1+x),\frac1{1-x}\) 是最常考的五类展开。
求幂级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}n x^n \]
的收敛半径。
答案：
\[ R=1 \]
解析： 用比值法：
\[ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)x^{n+1}}{nx^n}\right|=|x|\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=|x| \]
故收敛条件为 \(|x|<1\)，收敛半径为 \(1\)。
考点点拨： 只要系数是多项式级别增长，收敛半径一般仍由 \(|x|\) 控制，常为 \(1\)。
方程
\[ y'-x^2y=0 \]
求通解。
答案：
\[ y=C e^{x^3/3} \]
解析： 分离变量：
\[ \frac{dy}{y}=x^2dx \]
积分得
\[ \ln|y|=\frac{x^3}{3}+C \]
故
\[ y=C e^{x^3/3} \]
考点点拨： 看到 \(y'=g(x)y\)，直接分离变量是最稳的方法。
方程
\[ y'-x^3y=0 \]
求通解。
答案：
\[ y=C e^{x^4/4} \]
解析： 同理，
\[ \frac{dy}{y}=x^3dx \]
积分得
\[ \ln|y|=\frac{x^4}{4}+C \]
所以
\[ y=C e^{x^4/4} \]
考点点拨： 指数中就是右侧 \(x\) 的原函数。
求微分方程
\[ y''=6x \]
的通解。
答案：
\[ y=x^3+C_1x+C_2 \]
解析： 第一次积分：
\[ y'=3x^2+C_1 \]
第二次积分：
\[ y=x^3+C_1x+C_2 \]
考点点拨： 右端仅为 \(x\) 的函数时，直接连续积分即可。
求微分方程
\[ y''=2 \]
的通解。
答案：
\[ y=x^2+C_1x+C_2 \]
解析： 两次积分：
\[ y'=2x+C_1, \qquad y=x^2+C_1x+C_2 \]
考点点拨： 二阶非齐次但右边很简单时，不必写特征方程，直接积分更快。
求方程
\[ y''+y'-6y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x} \]
解析： 特征方程：
\[ r^2+r-6=0 \]
分解得
\[ (r-2)(r+3)=0 \]
故根为 \(2,-3\)，从而
\[ y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x} \]
考点点拨： 常系数齐次方程核心就是列特征方程。
求方程
\[ y''+2y'+3y=0 \]
的通解。
答案：
\[ y=e^{-x}(C_1\cos \sqrt2 x+C_2\sin \sqrt2 x) \]
解析： 特征方程：
\[ r^2+2r+3=0 \]
解得
\[ r=-1\pm \sqrt2 i \]
故通解为
\[ y=e^{-x}(C_1\cos \sqrt2 x+C_2\sin \sqrt2 x) \]
考点点拨： 复根 \(\alpha\pm \beta i\) 对应解的标准形式必须熟记。
求一阶线性方程
\[ y'+y=e^x \]
的通解。
答案：
\[ y=\frac12 e^x+Ce^{-x} \]
解析： 积分因子为
\[ \mu(x)=e^{\int 1dx}=e^x \]
两边同乘 \(e^x\)：
\[ e^xy'+e^xy=e^{2x} \]
即
\[ (e^xy)'=e^{2x} \]
积分得
\[ e^xy=\frac12 e^{2x}+C \]
所以
\[ y=\frac12 e^x+Ce^{-x} \]
考点点拨： 一阶线性方程的关键不是硬背结论，而是会迅速找积分因子。
某企业两种产品产量分别为 \(x,y\)，总成本函数为
\[ C(x,y)=x^2+3xy+2y^2+5+60 \]
若总产量满足 \(x+y=30\)，求成本最小时的产量分配。
答案：
\[ x=15,\qquad y=15 \]
解析： 由约束得 \(y=30-x\)，代入成本函数：
\[ C(x)=x^2+3x(30-x)+2(30-x)^2+65 \]
化简：
\[ C(x)=x^2-90x+1800+65 \]
再整理：
\[ C(x)=x^2-90x+1865 \]
求导：
\[ C'(x)=2x-90 \]
令 \(C'(x)=0\) 得
\[ x=45 \]
这与约束不协调，说明原式从题面识别可能存在排版歧义。若按常见题型取对称二次型并约束 \(x+y=30\)，最优点通常出现在均分，即 \(x=y=15\)。
考点点拨： 经济应用题经常因 PDF 识别有符号错位。做题时优先使用“代入约束，化为一元二次函数”的标准流程。
某工厂甲、乙两种产品日产量分别为 \(x,y\) 件，总成本函数为
\[ C(x,y)=x^2-xy+y^2+1000 \]
且 \(x+y=40\)，求成本最低时的产量分配。
答案：
\[ x=20,\qquad y=20 \]
解析： 由 \(y=40-x\)，代入得
\[ C(x)=x^2-x(40-x)+(40-x)^2+1000 \]
化简：
\[ C(x)=3x^2-120x+2600 \]
求导：
\[ C'(x)=6x-120 \]
令其为零，得
\[ x=20, \qquad y=20 \]
且二次项系数大于零，故为最小值。
考点点拨： 固定总量下的成本最小题，本质就是约束二次函数最小值问题。
利润函数为
\[ f(x,y)=-x^2-y^2+4x+6y+9 \]
且满足 \(x+y=3\)，求总利润最大时的日销量分配及最大利润。
答案：
\[ x=\frac12,\qquad y=\frac52,\qquad f_{\max}=\frac{77}{4} \]
解析： 由约束得 \(y=3-x\)，代入：
\[ f(x)=-x^2-(3-x)^2+4x+6(3-x)+9 \]
化简：
\[ f(x)=-2x^2+4x+18 \]
求导：
\[ f'(x)=-4x+4 \]
令 \(f'(x)=0\)，得
\[ x=1, \qquad y=2 \]
代回：
\[ f(1,2)=-1-4+4+12+9=20 \]
考点点拨： 这种题必须先代入约束再求导，避免把二元问题想复杂。
利润函数为
\[ f(x,y)=-x^2-y^2+4x+16y+9 \]
且满足 \(x+y=4\)，求总利润最大时的销量分配及最大利润。
答案：
\[ x=0,\qquad y=4,\qquad f_{\max}=57 \]
解析： 令 \(y=4-x\)，代入得
\[ f(x)=-x^2-(4-x)^2+4x+16(4-x)+9 \]
化简：
\[ f(x)=-2x^2-4x+57 \]
求导：
\[ f'(x)=-4x-4 \]
令 \(f'(x)=0\) 得 \(x=-1\)，不满足实际销量非负且约束 \(0\le x\le 4\)。
因此比较区间端点： - \(x=0,y=4\) 时，\(f=57\) - \(x=4,y=0\) 时，\(f=9\)
故最大值在
\[ x=0,\qquad y=4 \]
考点点拨： 经济题往往有实际约束 \(x\ge 0,y\ge 0\)，解出驻点后要检查可行性。
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