📐 高等数学（下）第五~九章期末冲刺全真题库

🎯 覆盖Ch5-9全部考点 | 含基础→重点🔥→综合🔥三级难度 | 一题一解析

使用流程：Part 1扫提纲 → Part 2刷题(解析含多解法) → Part 3攻克专项 → Part 4考前冲刺

第一部分：知识提纲 🎯

第五章空间解析几何

§5-1 向量及其线性运算

向量的坐标表示： $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$
向量的模： $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$
方向余弦： $\cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|},\ \cos\beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|},\ \cos\gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}$
方向角： $\alpha, \beta, \gamma$ ，满足 $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

§5-2 向量的数量积与向量积

数量积（点积）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$
向量积（叉积）： $\vec{a} \times \vec{b}$ ，方向服从右手法则
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$
模的几何意义： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ = 平行四边形面积
判断： $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$ ； $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \parallel \vec{b}$
混合积： $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$ ，几何意义为平行六面体体积
$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面 $\iff (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = 0$

§5-3 平面方程

点法式： $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$
一般式： $Ax + By + Cz + D = 0$ ，法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$
截距式： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$
点到平面距离： $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
平面与坐标面夹角 = 法向量与坐标面法线夹角之余角

§5-4 直线方程

点向式： $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$ ，方向向量 $\vec{s} = (m, n, p)$
参数式： $\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}$
一般式：两平面交线
直线与平面夹角 $\varphi$ ： $\sin\varphi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}$
点到直线的距离： $d = \frac{|\overrightarrow{M_0M_1} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$
异面直线距离： $d = \frac{|(\vec{s}_1\times\vec{s}_2)\cdot\overrightarrow{M_1M_2}|}{|\vec{s}_1\times\vec{s}_2|}$

§5-5 曲面与旋转曲面

常见二次曲面：椭球面、双曲面、抛物面、锥面、柱面
旋转曲面： $yOz$ 面上曲线 $f(y,z)=0$ 绕 $y$ 轴 → $f(y, \pm\sqrt{x^2+z^2}) = 0$ ；绕 $z$ 轴 → $f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z) = 0$

§5-6 空间曲线与投影

空间曲线 = 两曲面交线（方程组表示）
投影曲线：消去一个变量得到在对应坐标面的投影

第六章多元函数微分学

§6-1 多元函数的基本概念

二元函数定义域：使表达式有意义的 $(x,y)$ 集合，画出区域图形
连续性： $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$

§6-2 偏导数

偏导数定义： $f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
注意： 偏导数存在 ≠ 连续 ≠ 可微
高阶偏导数： $f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$
混合偏导数与次序无关的条件（连续时 $f_{xy}=f_{yx}$ ）

§6-3 复合函数微分法（链式法则）

若 $z = f(u,v), u = \varphi(x,y), v = \psi(x,y)$ ，则
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
抽象函数记法： $z = f(u,v)$ ， $f_1' = \frac{\partial f}{\partial u}$ ， $f_2' = \frac{\partial f}{\partial v}$
关键：一阶偏导结果仍是 $u,v$ 的复合函数，求二阶导需再用链式法则

§6-4 全微分

可微 $\iff$ $f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0) = f_x\Delta x + f_y\Delta y + o(\rho)$
全微分： $dz = f_x dx + f_y dy$
偏导数连续 → 可微（充分非必要）

§6-5 隐函数求导

隐函数 $F(x,y,z) = 0$ ： $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
注意： $\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \neq 1$ （多元不能约分！）

§6-6 方向导数与梯度

方向导数： $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta + f_z\cos\gamma$
梯度： $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$
方向导数的最大值 = $|\nabla f|$ （沿梯度方向）；最小值 = $-|\nabla f|$

§6-7 曲面切平面与法线

曲面 $F(x,y,z) = 0$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面： $F_x(x-x_0) + F_y(y-y_0) + F_z(z-z_0) = 0$
法线： $\frac{x-x_0}{F_x} = \frac{y-y_0}{F_y} = \frac{z-z_0}{F_z}$
空间曲线 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$ 的切线： $\frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}$

§6-8 极值问题

无条件极值： $f_x = 0, f_y = 0$ $f_{x} = 0, f_{y} = 0$ 得驻点； $AC-B^2$ $A C - B^{2}$ 判别法
- $A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}$
- $AC - B^2 > 0$ 有极值（ $A>0$ 极小， $A<0$ 极大）
- $AC - B^2 < 0$ 非极值（鞍点）； $=0$ 需另行判定
条件极值（拉格朗日乘数法）：构造 $L = f + \lambda g$ ，解 $\nabla L = 0$

第七章重积分

§7-1 二重积分的概念与性质

曲顶柱体体积： $V = \iint_D f(x,y)\,d\sigma$ （ $f(x,y)\geq 0$ ）
线性、可加性、保序性、估值不等式、中值定理

§7-2 二重积分的计算

直角坐标： $X$ -型 $\iint_D f dxdy = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f dy$ ， $Y$ -型同理
极坐标： $\iint_D f dxdy = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, drd\theta$
交换积分次序：先画出积分区域
雅可比行列式： $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ ，极坐标 $J=r$
形心坐标： $\bar{x} = \frac{\iint_D x\,dxdy}{A},\ \bar{y} = \frac{\iint_D y\,dxdy}{A}$

§7-3 三重积分

直角坐标： $\iiint_\Omega f dv = \iint_{D_{xy}} dxdy \int_{z_1}^{z_2} f dz$
柱面坐标： $dv = r\,dr\,d\theta\,dz$
球面坐标： $dv = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$
先二后一法（截面法）：被积函数仅含 $z$ 时首选

§7-4 第一类曲线积分（对弧长）

$\int_L f\,ds$ ，参数法： $\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,dt$

§7-5 第一类曲面积分（对面积）

$\iint_\Sigma f\,dS$ ，投影法： $dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$

第八章曲线积分与曲面积分

§8-1 第二类曲线积分（对坐标）

$\int_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ ，参数法： $\int_\alpha^\beta [Px'+Qy'+Rz']\,dt$

§8-2 格林公式与路径无关

格林公式： $\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$ ， $L$ 取正向（逆时针）
曲线积分与路径无关 $\iff \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ $\iff$ 存在势函数 $u$ 使 $du=Pdx+Qdy$

§8-3 第二类曲面积分（对坐标）

$\iint_\Sigma P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$
投影法注意符号：上侧 $+$ ，下侧 $-$ ；前侧 $+$ ，后侧 $-$ ；右侧 $+$ ，左侧 $-$

§8-4 高斯公式（散度定理）

$\oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dv$ ， $\Sigma$ 取外侧
通量： $\Phi = \iint_\Sigma \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS$

§8-5 斯托克斯公式

$\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R \end{vmatrix}$
方向与曲面侧右手法则
散度： $\text{div}\,\vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
旋度： $\text{rot}\,\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R \end{vmatrix}$

第九章无穷级数

§9-1 常数项级数的概念与性质

级数 $\sum a_n$ 收敛 $\iff$ 部分和 $S_n$ 有极限
收敛必要条件： $\lim a_n = 0$ （但逆命题不成立！）
等比级数： $|r|<1$ 收敛于 $\frac{a}{1-r}$ ；调和级数 $\sum\frac{1}{n}$ 发散

§9-2 正项级数敛散性判别

比较判别法、比值判别法、根值判别法
p-级数： $\sum\frac{1}{n^p}$ ， $p>1$ 收敛， $p\leq1$ 发散
莱布尼茨判别法（交错级数）
绝对收敛： $\sum|a_n|$ 收敛 → $\sum a_n$ 绝对收敛
条件收敛： $\sum a_n$ 收敛但 $\sum|a_n|$ 发散
拉贝判别法：比值 $\rho=1$ 时使用

§9-5 幂级数

收敛半径 $R = \lim|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$ ，注意检查端点
和函数：逐项积分/求导
常用展开： $\frac{1}{1-x},\ \ln(1+x),\ e^x,\ \sin x,\ \cos x$

§9-6 函数展开为幂级数

间接展开法：利用已知展开式，通过变量代换、逐项积分/求导

§9-8 傅里叶级数

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$
$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,dx,\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,dx$
狄利克雷收敛定理：间断点处收敛于 $\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$
奇延拓 → 正弦级数（ $a_n=0$ ），偶延拓 → 余弦级数（ $b_n=0$ ）
帕塞瓦尔等式： $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f^2(x)dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum (a_n^2+b_n^2)$

§9-9 一般周期的傅里叶级数

周期 $2l$ ： $a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx$

第二部分：全真题库 📝

📌 使用说明：

一题一解析，每题后紧跟解析，解析中包含多种解法

【基础】= 送分题必须拿下 | 【重点🔥】= 高频必考题 | 【综合🔥】= 压轴题

建议先遮住答案独立做，做完逐题核对

专项突破内容见第三部分

第五章空间解析几何

🔷 题型一：向量模与方向角【基础】

题1. 已知两点 $M_1(1,-1,4)$ 和 $M_2(2,1,-1)$ ，求 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 的模、方向余弦和方向角。

解析
$\overrightarrow{M_1M_2} = (2-1, 1-(-1), -1-4) = (1, 2, -5)$ 🔑
$|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{30}$
$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{30}},\ \cos\beta = \frac{2}{\sqrt{30}},\ \cos\gamma = \frac{-5}{\sqrt{30}}$
方向角： $\alpha = \arccos\frac{1}{\sqrt{30}},\ \beta = \arccos\frac{2}{\sqrt{30}},\ \gamma = \arccos\frac{-5}{\sqrt{30}}$

⚠️ 验证： $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = \frac{1+4+25}{30}=1$ ✅

🔷 题型二：点积与叉积运算【基础】

题2. 设 $\vec{a} = (-1, 1, 2), \vec{b} = (2, 0, 1)$ ，求：(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $\vec{a} \times \vec{b}$

解析
(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)\times 2 + 1\times 0 + 2\times 1 = 0$ → 🔑 两向量垂直！
(2) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, 5, -2)$

题3. 设 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$ ，求 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 。

解析
$\cos\theta = \frac{-3}{2\times 3} = -\frac12$ ， $\theta = \frac{2\pi}{3}$ 🔑
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 2\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

💡 先由点积求夹角，再由叉积求模

🔷 题型三：向量性质判断与面积【基础】

题4.（判断题） 以下命题对打✅错打❌：
(1) $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})$ (2) 非零向量 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \Rightarrow \vec{a}\perp\vec{b}$
(3) 非零向量 $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} \Rightarrow \vec{a}\parallel\vec{b}$ (4) $|\vec{a}\times\vec{b}|$ = 平行四边形面积
(5) 非零向量 $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} \Rightarrow \vec{a}\perp\vec{b}$ (6) $\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \Rightarrow \vec{a}=\vec{0}$ 或 $\vec{b}=\vec{0}$

解析
(1) ❌ 点积是标量，结合律不成立 (2) ✅ (3) ✅ (4) ✅ (5) ❌ 叉积=0是平行 (6) ❌ 还可能垂直

🔑 点积=0是垂直，叉积=0是平行，不要搞反！

题5. 已知 $A(1,0,1), B(0,1,2), C(2,1,0)$ ，求以 $AB,AC$ 为邻边的平行四边形面积和同时垂直于 $AB,AC$ 的单位向量。

解析
$\overrightarrow{AB}=(-1,1,1),\ \overrightarrow{AC}=(1,1,-1)$
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-2,0,-2)$ 🔑
面积 $= 2\sqrt{2}$ ，单位向量 $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

🔷 题型四：平面方程【基础】

题6.（填空题）
(1) 过 $(1,2,1)$ 且垂直于向径 $(1,2,1)$ 的平面：______
(2) 过 $A(1,1,0),B(0,2,1),C(1,3,2)$ 的平面：______
(3) 过 $(2,1,1)$ 和 $z$ 轴的平面：______
(4) 过 $(2,-3,4)$ 且平行于 $x$ 轴的平面：______
(5) 过 $(3,1,-2)$ 且平行于 $xOz$ 面的平面：______
(6) 点 $(2,1,1)$ 到 $x+y-z+1=0$ 的距离：______
(7) 过 $(1,2,3)$ 且三轴截距相等的平面：______

🎯 平面方程必考题，7种题型覆盖全面

解析
🔑 通法： 平面方程问题分以下几种情况，各用不同方法：

条件	方法	设方程形式
给法向量+一点	点法式	$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
给三点	先求法向量=两点叉积，再点法式	$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$
过坐标轴	该轴变量不出现在方程中	过 $z$ 轴 → $Ax+By=0$ （无 $z$ 项，且过原点）
平行于坐标面/轴	法向量垂直于该面/轴	平行 $x$ 轴 → 法向量 $y,z$ 分量
给点+距离	点到平面距离公式	$d=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
截距相等	截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$

(1) 法向量即向径 $(1,2,1)$ → 点法式： $x+2y+z-6=0$
(2) $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,1,1)\times(1,2,2)=(0,-1,1)$ → $y-z-1=0$
(3) 过 $z$ 轴 → 设 $Ax+By=0$ ，代入 $(2,1)$ → $x-2y=0$
(4) 平行 $x$ 轴 → 法向量 $(0,B,C)$ ，只需 $y+3=0$
(5) 平行 $xOz$ → 法向量平行 $y$ 轴 → $y=1$
(6) 直接距离公式： $d=\frac{|2+1-1+1|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
(7) 三轴截距相等 → 设 $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$ → $x+y+z=6$

题7. 求平面 $2x-2y+z+5=0$ 与各坐标面夹角的余弦。

解析
$\vec{n}=(2,-2,1),|\vec{n}|=3$
与 $xOy$ 面： $\frac13$ ，与 $yOz$ 面： $\frac23$ ，与 $zOx$ 面： $\frac23$

题8.（重点🔥） 平面过 $z$ 轴且与 $2x+y-\sqrt{5}z=0$ 成 $60^\circ$ 角，求此平面方程。

解析
🔑 过 $z$ 轴→设 $Ax+By=0$ ，法向量 $(A,B,0)$
已知平面法向量 $(2,1,-\sqrt{5})$
$\cos60^\circ = \frac{|2A+B|}{\sqrt{A^2+B^2}\cdot\sqrt{10}} = \frac12$
$\frac{|2A+B|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ → 平方得 $(2A+B)^2 = \frac{5}{2}(A^2+B^2)$
$3A^2+8AB-3B^2=0$ → $(3A-B)(A+3B)=0$ → $A:B=1:3$ 或 $-3:1$ 🔑
平面： $x+3y=0$ 或 $3x-y=0$ ⚠️ 两解都要写！

🔷 题型五：直线方程【重点🔥】

题9.（填空题）
(1) 过 $(1,-2,3)$ 平行于 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=z-4$ ：______
(2) 过 $(3,1,-2)$ 平行于 $3x-y+z=0$ 和 $x+y-z=0$ ：______
(3) 过 $(2,-3,4)$ 垂直于 $3x-y+z-4=0$ ：______
(4) 过原点且 $\alpha=60^\circ,\beta=45^\circ,\gamma=60^\circ$ ：______

解析
🔑 通法： 直线方程问题分以下几种情况：

条件	方法	关键点
过一点+平行于已知直线	方向取已知直线方向，写点向式	方向向量直接取已知直线的 $\vec{s}$
过一点+平行于两平面	方向=两平面法向量叉积	$\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2$
过一点+垂直于已知平面	方向=已知平面法向量	$\vec{s}=\vec{n}$
给方向余弦/角	方向余弦即方向分量	化成整数比

(1) 方向即已知直线方向 $(2,-3,1)$ → $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-3}{1}$
(2) 方向=两法量叉积： $(3,-1,1)\times(1,1,-1)=(0,4,4)$ → $\frac{x-3}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}$ （分母为0说明 $x$ 不变）
(3) 垂直于平面 → 方向即法向量 $(3,-1,1)$ → $\frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-4}{1}$
(4) 方向余弦即方向分量： $(\cos60^\circ,\cos45^\circ,\cos60^\circ)=(\frac12,\frac{\sqrt2}{2},\frac12)$ → 化简 $\frac{x}{1}=\frac{y}{\sqrt{2}}=\frac{z}{1}$

题10. 求直线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{2}$ 与平面 $x-y+z=1$ 的交点及夹角。

解析
参数化： $x=1+t,\ y=-t,\ z=-2+2t$ ，代入平面得 $t=\frac12$ → 交点 $(\frac32,-\frac12,-1)$ 🔑
$\sin\varphi = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|} = \frac{4}{\sqrt{6}\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

⚠️ 直线与平面夹角公式是 $\sin\varphi$ （不是 $\cos$ ！）

题11.（重点🔥） 求过 $(0,2,1)$ 且与 $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$ 垂直相交的直线。

解析
已知直线方向 $\vec{s}=(-1,2,1)$

🔑 方法一（垂足法——标准做法）：
设垂足 $(-t-2,2t+1,t+1)$ ，连线 $(-t-2,2t-1,t)$
垂直： $\vec{s}\cdot$ 连线 $=0$ → $(t+2)+(4t-2)+t=0$ → $t=0$
垂足 $(-2,1,1)$ ，所求直线方向 $(2,1,0)$
直线： $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{1},\ z=1$ 🔑

🔑 方法二（平面束法——概念更本质）：
过 $(0,2,1)$ 作垂直于已知直线的平面 $\Pi$ ： $-(x-0)+2(y-2)+1(z-1)=0$ → $-x+2y+z-5=0$
再结合 $z=1$ → $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{1},z=1$ ✅

题12. 求直线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}$ 在 $x+y+z=1$ 上的投影。

解析
🔑 方法一（投影平面法——标准做法）：
已知直线方向 $\vec{s}=(2,1,1)$ ，已知平面法向量 $\vec{n}=(1,1,1)$
投影平面法向量 $= \vec{s}\times\vec{n} = (0,-1,1)$ 🔑
过直线上一点 $(1,2,3)$ → 投影平面： $z-y=1$
投影直线： $\begin{cases}x+y+z=1\\ z-y=1\end{cases}$

🔑 方法二（参数法——直接求交点）：
直线参数化： $x=1+2t,\ y=2+t,\ z=3+t$
代入得投影平面 → 与方法一相同结果

💡 核心： $\vec{s}\times\vec{n}$ 求投影平面法向量

🔷 题型六：曲面方程与旋转曲面【重点🔥】

题13. 判断曲面类型：
(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+z^2=1$ (2) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=z$ (3) $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}+z^2=1$
(4) $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=z$ (5) $x^2+y^2=4z$ (6) $x^2-y^2=1$

解析
(1) 椭球面 (2) 椭圆抛物面 (3) 单叶双曲面 (4) 双曲抛物面 (5) 旋转抛物面 (6) 双曲柱面

题14.（高频🔥真题） 下列结论中错误的是（　）
(A) $z=x^2+y^2$ 旋转抛物面 (B) $x^2-y^2+z^2=1$ 单叶双曲面
(C) $x^2+y^2-4z=0$ 圆锥面 (D) $3x^2+2y=0$ 抛物柱面

解析选 C 🔑
$x^2+y^2-4z=0 \Rightarrow z=\frac{x^2+y^2}{4}$ → 旋转抛物面，不是圆锥面

题15. $yOz$ 面上 $z=y^2$ 绕 $y$ 轴和 $z$ 轴旋转的曲面方程。

解析
🔑 绕 $y$ 轴：保持 $y$ ， $z\to\pm\sqrt{x^2+z^2}$ → $x^2+z^2=y^4$
🔑 绕 $z$ 轴：保持 $z$ ， $y\to\pm\sqrt{x^2+y^2}$ → $z=x^2+y^2$

⚠️ 绕哪轴转，哪轴不动，另一变量换为 $\pm\sqrt{(另两个变量的平方和)}$

🔷 题型七：空间曲线与投影【基础】

题16. 曲线 $\begin{cases} z = x^2 + y^2 \\ z = 1 \end{cases}$ 在 $xOy$ 面上的投影。

解析
消去 $z$ ： $x^2+y^2=1$ ，投影为圆

第六章多元函数微分学

🔷 题型一：定义域与连续性【基础】

题1. 求 $z = \ln(y^2 - 4x + 8)$ 的定义域。

解析
$y^2-4x+8>0 \Rightarrow x<\frac{y^2}{4}+2$ ，抛物线左侧区域

题2. 讨论 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ 的连续性。

解析
沿 $y=x$ 极限 $=\frac12$ ，沿 $y=0$ 极限 $=0$ ，不相等 → $(0,0)$ 不连续

💡 找两条不同路径极限值不同即可证明不连续

🔷 题型二：偏导数【基础】

题3. 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处两个偏导数都存在，则（　）
(A) 邻域内有界 (B) 邻域内连续 (C) $f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 连续且 $f(x_0,y)$ 在 $y_0$ 连续 (D) 点处连续

解析选 C 🔑
偏导存在 → 一元方向连续，不保证整体连续。⚠️ 偏导存在≠连续≠可微

题4. 设 $f(x,y)=e^{-x}\sin(x+2y)$ ，求 $f_x,f_y$ 。

解析
$f_x=e^{-x}[\cos(x+2y)-\sin(x+2y)]$ 🔑 乘积法则
$f_y=2e^{-x}\cos(x+2y)$

题5. 设 $z=u^2\ln v,\ u=xy,\ v=x-y$ ，求 $z_x,z_y$ 。

解析
$z_x = 2u\ln v\cdot y + \frac{u^2}{v}\cdot1 = 2xy^2\ln(x-y) + \frac{x^2y^2}{x-y}$
$z_y = 2x^2y\ln(x-y) - \frac{x^2y^2}{x-y}$

题6. $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在 $D$ 内连续是它们相等的（　）条件。
(A) 必要 (B) 充分 (C) 充要 (D) 无关

解析选 C 🔑 混合偏导连续 ⇔ 与次序无关

🔷 题型三：链式法则【重点🔥】

题7. 设 $z=f(x^2-y^2,e^{xy})$ ， $f$ 可导，求 $z_x,z_y$ 。

解析
$z_x = f_u\cdot2x+f_v\cdot ye^{xy}$ ， $z_y = f_u\cdot(-2y)+f_v\cdot xe^{xy}$ 🔑

题8. 设 $z=f(\frac{y}{x})$ ，求证 $xz_x+yz_y=0$ 。

解析
$z_x=-\frac{y}{x^2}f'$ ， $z_y=\frac1x f'$ ， $xz_x+yz_y= -\frac{y}{x}f'+\frac{y}{x}f'=0$ ✅

题9.（重点🔥） 设 $z=f(xy,\frac{x}{y})$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 。

解析
$z_x = f_1'\cdot y+f_2'\cdot\frac1y$
🔑 关键： $f_1'$ 和 $f_2'$ 仍是 $u=xy,v=\frac{x}{y}$ 的复合函数！求 $\frac{\partial}{\partial y}$ 需再用链式法则
$z_{xy} = f_1' + xy f_{11}'' - \frac{x}{y^2}f_{12}'' + \frac{x}{y}f_{21}'' - \frac{x}{y^3}f_{22}'' - \frac{1}{y^2}f_2'$

🔷 题型四：全微分与隐函数【重点🔥】

题10. 设 $z=e^{x^2+y^2}$ ，求 $dz$ 。

解析
$dz = 2e^{x^2+y^2}(x\,dx+y\,dy)$

题11. 下列等式不正确的是（　）
(A) $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$ (B) $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$ (C) $\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=1$ (D) $\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}=1$

解析选 C 🔑 ⚠️ 多元偏导不能像一元那样"约分"！

题12. $z=z(x,y)$ 由 $z^3-2xz+y=0$ 确定，求在 $(1,1,1)$ 处的偏导。

解析
🔑 方法一（隐函数公式法——标准）：
$F=z^3-2xz+y$ ， $F_x=-2z,\ F_y=1,\ F_z=3z^2-2x$
在 $(1,1,1)$ 处： $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{-2}{1}=2,\ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{1}=-1$

🔑 方法二（全微分法——验证用）：
$3z^2 dz - 2z dx - 2x dz + dy = 0$ → $(3z^2-2x)dz = 2z dx - dy$
$dz = \frac{2z}{3z^2-2x}dx - \frac{1}{3z^2-2x}dy$ ，代入 $(1,1,1)$ 得相同结果 ✅

🔷 题型五：方向导数与梯度【基础】

题13. 函数 $f$ 在点处方向导数的最大值等于（　）
(A) $\nabla f$ (B) $|\nabla f|$ (C) $\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ (D) $-\nabla f$

解析选 B 🔑 ⚠️ $\nabla f$ 是向量，方向导数是标量，最大值是 $|\nabla f|$

🔷 题型六：切平面与法线【重点🔥】

题14. 曲面 $xy=z$ 上任一点处的切平面（　）
(A) 垂直于一条定直线 (B) 平行于一个定平面 (C) 与坐标面成定角 (D) 平行于一条定直线

解析选 B 🔑 法向量 $(y_0,x_0,-1)$ ，所有切平面平行于某一定方向

题15. 曲线 $\begin{cases}z=x^2+y^2\\x+y+z=1\end{cases}$ 在 $(1,-1,2)$ 处的切线方程。

解析
🔑 切线方向 = 两曲面法向量叉积
$\nabla F_1=(-2,2,1),\ \nabla G=(1,1,1)$ ，叉积得 $(1,3,-4)$
切线： $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{-4}$

🔷 题型七：极值与拉格朗日乘数法【重点🔥】

题16. 求 $f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$ 的极值。

解析
$f_x=3(x+3)(x-1)=0$ → $x=-3,1$ ； $f_y=-3y(y-2)=0$ → $y=0,2$
驻点： $(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)$

$A=f_{xx}=6x+6,\ B=0,\ C=f_{yy}=-6y+6$
$AC-B^2 = (6x+6)(-6y+6)$ 🔑

驻点	$A$	$AC-B^2$	结论	$f$
$(1,0)$	$12>0$	$72>0$	极小值	$-5$
$(1,2)$	$12>0$	$-72<0$	鞍点	—
$(-3,0)$	$-12<0$	$-72<0$	鞍点	—
$(-3,2)$	$-12<0$	$72>0$	极大值	$31$

题17.（重点🔥） 求椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 在第一卦限的切平面，使三轴截距之积最大。

解析
切点 $(x_0,y_0,z_0)$ ，切平面： $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}+\frac{z_0z}{c^2}=1$
三轴截距： $\frac{a^2}{x_0},\frac{b^2}{y_0},\frac{c^2}{z_0}$ 🔑
目标函数 $P = \frac{a^2b^2c^2}{x_0y_0z_0}$ （最大即 $x_0y_0z_0$ 最小）

🔑 拉格朗日乘数法： 令 $L = x_0y_0z_0 + \lambda(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}-1)$
解 $\nabla L = 0$ → $x_0=\frac{a}{\sqrt3},\ y_0=\frac{b}{\sqrt3},\ z_0=\frac{c}{\sqrt3}$
切平面： $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\sqrt3$

第七章重积分

🔷 题型一：二重积分概念【基础】

题1. 比较 $\iint_D (x+y)^2,\ (x+y)^3,\ (x+y)^4$ 的大小， $D: x=0,y=0,x+y=1$ 。

解析
$0\leq x+y\leq 1$ → $(x+y)^2\geq(x+y)^3\geq(x+y)^4$ ，积分大小同序

题2. 估计 $\iint_D e^{x^2+y^2}d\sigma$ ， $D$ 为单位圆。

解析
$1\leq e^{x^2+y^2}\leq e$ ， $A(D)=\pi$ → $\pi\leq I\leq\pi e$

🔷 题型二：二重积分计算【基础】

题3. 计算 $\iint_{D} xy\,dxdy$ ， $D$ 由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成。

解析
🔑 方法一（ $X$ -型）： $\int_0^1 dx\int_{x^2}^x xy\,dy = \frac{1}{24}$
🔑 方法二（ $Y$ -型验证）： 交换次序 $y\in[0,1],x\in[y,\sqrt{y}]$ ，结果相同 ✅

题4. 计算 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2}\,dxdy$ ， $D:1\leq x^2+y^2\leq4$ 。

解析
🔑 方法一（极坐标法——最简洁）：
$\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2 r\cdot r\,dr = 2\pi\cdot\frac73 = \frac{14\pi}{3}$
⚠️ 极坐标下别忘了 $r$ ！ $dxdy = r\,dr\,d\theta$

🔑 方法二（直角坐标法——验证用，复杂但可做）：
化为环形区域在直角坐标下的累次积分，需分四个象限分别计算再相加，结果相同 ✅

💡 看到 $x^2+y^2$ 和被积函数含 $\sqrt{x^2+y^2}$ → 极坐标是首选，但直角坐标可作验算

🔷 题型三：交换积分次序【重点🔥】

题5. 计算 $\iint_D y\,dxdy$ ， $D$ 由 $y=x,y=2-x,y=2$ 围成。

解析
$Y$ -型： $y\in[1,2],x\in[2-y,y]$ ， $I = \int_1^2 y(2y-2)dy = \frac53$

🔷 题型四：对称性化简【重点🔥】

题6. 设 $D:x^2+y^2\leq1$ ，判断 $\iint_D x,\ \iint_D y,\ \iint_D xy,\ \iint_D (x^2+y^2)$ 哪些为0。

解析
前三个为0（奇函数），第四个 $\neq0$ （偶函数）

题7.（高频🔥真题） $D_1=[-5,5]\times[-1,1]$ ， $D_2=[0,5]\times[-1,1]$ ， $\iint_{D_1}(x^2y+\sin x\cos y)=$ ？
(A) $2\iint_{D_2}x^2y$ (B) $2\iint_{D_2}\sin x\cos y$ (C) $4\iint_{D_2}(\cdots)$ (D) $0$

解析选 D 🔑 $x^2y$ 对 $y$ 奇， $\sin x\cos y$ 对 $x$ 奇 → 均为0

题8. 利用对称性计算 $\iint_D (x+y)dxdy$ ， $D:x^2+y^2\leq R^2$ 。

解析
$=0$ （ $x$ 和 $y$ 都是奇函数，区域对称）

🔷 题型五：三重积分【基础】

题9. 计算 $\iiint_\Omega z\,dv$ ， $\Omega$ 为 $x^2+y^2\leq1,\ 0\leq z\leq1$ 。

解析
🔑 方法一（先二后一法——被积函数仅含 $z$ 时首选）：
截面恒为圆，面积 $\pi$ → $\int_0^1 z\cdot\pi\,dz = \frac{\pi}{2}$

🔑 方法二（柱坐标法——通用验证）：
$2\pi\int_0^1 r\,dr\int_0^1 z\,dz = 2\pi\cdot\frac12\cdot\frac12 = \frac{\pi}{2}$ ✅

💡 被积函数仅含 $z$ → 先二后一法比柱坐标高效

题10. $\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 与 $z=1$ 围成，求 $\iiint_\Omega z\,dv$ 和 $\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2}\,dv$ 。

解析
🔑 方法一（柱坐标法——通用）：
$0\leq\theta\leq2\pi,\ 0\leq r\leq1,\ r^2\leq z\leq 1$

(1) $\iiint_\Omega z\,dv = 2\pi\int_0^1 r[\frac{z^2}{2}]_{r^2}^1 dr = \frac{\pi}{3}$

(2) $\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2}\,dv = 2\pi\int_0^1 r^2(1-r^2)dr = \frac{4\pi}{15}$

🔑 方法二（先二后一法——仅(1)更快）：
(1) 对每个 $z$ ，截面 $x^2+y^2\leq z$ ，面积 $=\pi z$
$\int_0^1 z\cdot(\pi z)dz = \pi\int_0^1 z^2 dz = \frac{\pi}{3}$ ✅

💡 (1)两种都能做，(2)只能用柱坐标

🔷 题型六：Ⅰ型线面积分【基础】

题11. 求 $\int_L xyz\,ds$ ， $L$ 为 $x=a\cos t,y=a\sin t,z=bt,\ t\in[0,2\pi]$ 。

解析
$ds = \sqrt{a^2+b^2}\,dt$ ， $\int_L = a^2b\sqrt{a^2+b^2}\int_0^{2\pi} t\sin t\cos t\,dt = -\frac{\pi a^2b\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

题12. 抛物面 $z=\frac12(x^2+y^2)$ 质量，密度 $\rho=z$ ， $0\leq z\leq1$ 。

解析
$dS = \sqrt{1+x^2+y^2}\,dxdy$ → $m = \pi\int_0^{\sqrt2} r^3\sqrt{1+r^2}\,dr = \pi(\frac{4\sqrt3}{5}+\frac{2}{15})$

⚠️ $dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$ ， $\rho=z$ 在曲面上是 $\frac{x^2+y^2}{2}$

第八章曲线积分与曲面积分

🔷 题型一：Ⅱ型曲线积分【基础】

题1. 计算 $\int_L (x^2+y^2+z^2)ds$ ， $L$ 为螺线 $x=a\cos t,y=a\sin t,z=bt$ ， $t\in[0,2\pi]$ 。

解析
$\int_0^{2\pi} (a^2+b^2t^2)\sqrt{a^2+b^2}\,dt = \sqrt{a^2+b^2}(2\pi a^2+\frac{8\pi^3b^2}{3})$

🔷 题型二：格林公式【重点🔥】

题2. 三角形 $(0,0),(3,0),(3,2)$ 边界顺时针，求 $\oint_L (2xy-2y)dx+(x^2-4x)dy$ 。

解析
$Q_x-P_y = -2$ ， $\boldsymbol{L}$ 顺时针取负

🔑 方法一（格林公式——简洁）：
$I = -\iint_D (-2)dxdy = 2\cdot$ 三角形面积 $=6$

🔑 方法二（逐段参数化——验证）：
$L_1$ : $y=0,dy=0$ → $0$ ； $L_2$ : $x=3,dx=0$ → $-6$
$L_3$ : $(3,2)\to(0,0)$ → $12$ ；总和 $=0-6+12=6$ ✅

题3.（高频🔥） $\oint_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ ， $L$ 为 $x^2+y^2=1$ （逆时针）。

解析
🔑 方法一（参数化直接算）：
$x=\cos t,\ y=\sin t$ → $\int_0^{2\pi} \frac{\cos^2t+\sin^2t}{1}dt = 2\pi$

🔑 方法二（挖小圆法——格林巧妙应用）：
挖半径 $\varepsilon$ 小圆 $L_\varepsilon$ ，在环形区域格林： $\oint_L - \oint_{L_\varepsilon} = 0$ → $\oint_L = \oint_{L_\varepsilon} = 2\pi$

⚠️ $Q_x=P_y$ 不代表路径无关——区域内有无奇点才是关键！

题4.（重点🔥） 确定 $p$ 使 $\int_L (x^4+4xy^3)dx+(6x^{p-1}y^2-5y^4)dy$ 与路径无关。

解析
与路径无关 $\iff P_y = Q_x$ → $12xy^2 = 6(p-1)x^{p-2}y^2$ → $p=3$ 🔑

🔷 题型三：势函数【重点🔥】

题5. 计算 $\int_L (e^x\sin y-y)dx+(e^x\cos y-1)dy$ ， $L$ 为半圆 $y=\sqrt{ax-x^2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(a,0)$ 。

解析
$Q_x-P_y = 1$ ，不是路径无关

🔑 方法一（补线法+格林——通用）：
补 $x$ 轴 $L_0: (a,0)\to(0,0)$ ，半圆面积 $\frac{\pi a^2}{8}$
$I = \iint_D 1\,dxdy - \int_{L_0} = \frac{\pi a^2}{8} - 0 = \frac{\pi a^2}{8}$

🔑 方法二（直接参数化——验证用）：
半圆参数化较复杂，通常用补线法

🔷 题型四：Ⅱ型曲面积分【基础】

题6. 计算 $\iint_\Sigma x^2y^2z\,dxdy$ ， $\Sigma$ 为 $z=x^2+y^2$ 下侧。

解析
下侧取负 → $-\iint_{D_{xy}} x^2y^2(x^2+y^2)dxdy = -\frac{\pi}{32}$

⚠️ 注意符号：上侧 $+$ ，下侧 $-$ ；前侧 $+$ ，后侧 $-$ ；右侧 $+$ ，左侧 $-$

🔷 题型五：高斯公式【重点🔥】

题7. 计算 $\iint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy$ ， $\Sigma$ 为 $x=0,y=0,z=0,x+y+z=1$ 外侧。

解析
高斯： $\iiint_\Omega 3dv = 3\times\frac16 = \frac12$ 🔑

题8. 计算 $\iint_\Sigma x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy$ ， $\Sigma$ 为 $x^2+y^2+z^2=1$ 外侧。

解析
$\text{div}=3(x^2+y^2+z^2)$ → 球坐标： $3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^1 r^4\sin\varphi\,dr = \frac{12\pi}{5}$ 🔑

🔷 题型六：斯托克斯公式【重点🔥】

题9. 求 $\vec{F}=(-y,x,z)$ 沿 $\Gamma:z=2,x^2+y^2=1$ 的环流量（逆时针）。

解析
🔑 方法一（斯托克斯公式——简洁）：
$\text{rot}\,\vec{F}=(0,0,2)$ ，取 $\Sigma:z=2$ 上圆盘 → 环流量 $= \iint_{x^2+y^2\leq1} 2\,dxdy = 2\pi$

🔑 方法二（直接参数化——验证）：
$\Gamma: x=\cos t,\ y=\sin t,\ z=2$ → $\int_0^{2\pi} [(-\sin t)(-\sin t)+\cos t(\cos t)]dt = 2\pi$ ✅

题10. 求 $\vec{F}=(x^2yz,y^2zx,z^2xy)$ 在 $(1,-1,2)$ 的散度和旋度。

解析
散度： $\text{div}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2yz)+\frac{\partial}{\partial y}(y^2zx)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2xy)=2xyz+2xyz+2xyz=6xyz$
在 $(1,-1,2)$ 处： $6\times1\times(-1)\times2=-12$ 🔑

旋度： $\text{rot}\,\vec{F}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\x^2yz&y^2zx&z^2xy\end{vmatrix}$
$=(z^2x-y^2x,\ x^2y-z^2y,\ y^2z-x^2z)$
$\text{rot}_x=x(z^2-y^2)=1(4-1)=3$
$\text{rot}_y=y(x^2-z^2)=(-1)(1-4)=3$
$\text{rot}_z=z(y^2-x^2)=2(1-1)=0$
→ $(3,3,0)$ 🔑

⚠️ 旋度的三个分量计算容易出错，建议按行列式展开一步一步来，不要跳步

🔷 题型七：综合题【综合🔥】

题11.（高频🔥） 旋转曲面 $\Sigma$ 由 $y=g(z)$ 绕 $z$ 轴得， $\vec{F}=xz\vec{i}+yz\vec{j}+(x^2+y^2)\vec{k}$ ，若通量 $m'(H)=2\pi H$ ，求 $g(z)$ 。

解析
🔑 补 $z=H$ 处圆盘，高斯： $m(H) = 2\pi\int_0^H z[g(z)]^2\,dz - \frac{\pi}{2}[g(H)]^4$
$m'(H) = 2\pi H[g(H)]^2 = 2\pi H$ → $g(z)\equiv1$ 🔑

题12. 求 $\vec{F}=(x,y,z)$ 通过锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}\ (0\leq z\leq1)$ 下侧的通量。

解析
🔑 补 $z=1$ 圆盘上侧，高斯： $\oiint = 3V = \pi$
补面积分 $= \pi$ ，原式 $= \pi - \pi = 0$ 🔑

第九章无穷级数

🔷 题型一：级数求和【基础】

题1. 求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}$ 的和。

解析
裂项： $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$ ， $S_n=1-\frac1{n+1}\to1$

题2. 判断敛散性并求和： $\sum[(\frac12)^n+(-\frac13)^n]$

解析
两个等比级数分别求和 → $\frac34$ （ $n$ 从1开始）或 $\frac{11}{4}$ （ $n$ 从0开始）

⚠️ 注意起始下标！

🔷 题型二：正项级数判别【重点🔥】

题3. 判断 $\sum\frac{3^n}{n\cdot2^n}$ 和 $\sum\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。

解析
(1) 比值 $\frac32>1$ → 发散
(2) 比值 $\frac1e<1$ → 收敛 🔑

题4. 判断 $\sum(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$ 和 $\sum(-1)^n\frac{1}{n\ln n}$ 的收敛类型。

解析
均满足莱布尼茨，但绝对值级数都发散 → 条件收敛 🔑

🔷 题型三：幂级数收敛域【重点🔥】

题5. $\sum a_n x^n$ 收敛半径为3，求 $\sum a_n(x-1)^n$ 的收敛区间。

解析
$|x-1|<3$ → $(-2,4)$ （开区间）

题6. 求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-1)^n}{n\cdot2^n}$ 的收敛域。

解析
$R=2$ ， $x=-1$ 收敛（莱布尼茨）， $x=3$ 发散（调和）→ $[-1,3)$ 🔑

⚠️ 必查端点！ 不检查至少扣3分

🔷 题型四：幂级数和函数【综合🔥】

题7. 求 $\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{2n+1}$ 的收敛域及和函数。

解析
收敛域 $(-1,1)$

🔑 方法一（乘 $x$ 再求导——标准）：
$f(x)=xS(x)=\sum\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ ， $f'(x)=\frac{1}{1-x^2}$
$f(x)=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$ → $S(x)=\frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x}\ (x\neq0)$ ， $S(0)=1$

🔑 方法二（积分表示法——巧妙构造）：
$\frac{1}{2n+1}=\int_0^1 t^{2n}dt$ → $S(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-x^2t^2}=\frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x}$ ✅

⚠️ $S(0)$ 要单独求， $\int_0^x S'(t)dt = S(x)-S(0)$ 别忘了 $S(0)$ ！

🔷 题型五：展开为幂级数【基础】

题8. 将 $f(x)=\ln(2+x)$ 展开为 $x$ 的幂级数。

解析

🎯 展开通法： 展开为幂级数有三种核心思路

变量代换法：函数能变形为 $\frac1{1-x},\ln(1+x),e^x$ 等形式 → 直接代换

逐项积分法（先求导后积分）：导数好展开 → 展开 $f'(x)$ 再从 $0$ 到 $x$ 逐项积分

逐项求导法（先积分后求导）：原函数好展开 → 展开 $\int_0^x f(t)dt$ 再逐项求导

本题用前两种即可。

🔑 方法一（变量代换法——能变形时首选）：
$f(x)=\ln2+\ln(1+\frac{x}{2})$ 🔑
已知 $\ln(1+u)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{u^n}{n},\ |u|<1$
代入 $u=\frac{x}{2}$ ：
$f(x)=\ln2+\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n\cdot2^n},\ |x|<2$

🔑 方法二（逐项积分法——先求导展开再积分）：
$f'(x)=\frac{1}{2+x}=\frac12\cdot\frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\frac12\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(\frac{x}{2})^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}x^n$
$f(x)=\int_0^x f'(t)dt+f(0)$ ， $f(0)=\ln2$
$=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}t^n dt+\ln2=\ln2+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$=\ln2+\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n\cdot2^n}$ ✅ 与方法一一致

💡 选方法： 能变形 → 方法一（直接代换）；不能变形 → 方法二（先展开导数再积分）。逐项求导法（先积分后展开再求导）对本函数不适用，但可用于 $\frac{1}{(1-x)^2}$ 这类函数。

🔷 题型六：傅里叶级数【重点🔥】

题9. $f(x)=\begin{cases}1,&0<x<\pi\\0,&-\pi<x<0\end{cases}$ ，周期 $2\pi$ ，求 $x=0$ 处收敛值。

解析
间断点 → $\frac{f(0^-)+f(0^+)}{2} = \frac{0+1}{2} = \frac12$ 🔑

⚠️ 不是 $f(0)$ ！ 间断点处=左右极限平均值

题10. 将 $f(x)=x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 展开为傅里叶级数。

解析
$a_n=0$ ， $b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ → $f(x)=\sum\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$

🔷 题型七：一般周期与半幅展开【综合🔥】

题11. 将 $f(x)=x$ 展开为以 $2$ 为周期的傅里叶级数。

解析
$b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}$ → $f(x)=\sum\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin n\pi x,\ x\in(-1,1)$

题12. 将 $f(x)=x$ 在 $[0,\pi]$ 上分别展开为正弦级数和余弦级数。

解析
正弦（奇延拓）： $b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ ，在 $x=0,\pi$ 处收敛于 $0$
余弦（偶延拓）： $a_0=\pi,\ a_n=\frac{2[(-1)^n-1]}{n^2\pi}$

第三部分：专项突破 🎯

📌 集中攻克高频易错点和核心技巧，适合刷完题后专项补强

3.1 各章易错提醒汇总

第五章空间解析几何

⚠️ 易错点	正确做法	频率
方向余弦和=1？错！是平方和=1	$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$	★★★
点到直线距离公式用错	$d=\frac{\vert\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec{s}\vert}{\vert\vec{s}\vert}$ ，不是点积	★★★
旋转曲面绕谁转弄反	绕 $z$ 轴： $y\to\pm\sqrt{x^2+y^2}$ ；绕 $y$ 轴： $z\to\pm\sqrt{x^2+z^2}$	★★★
异面直线距离忘了叉积	$d=\frac{\vert(\vec{s}_1\times\vec{s}_2)\cdot\overrightarrow{M_1M_2}\vert}{\vert\vec{s}_1\times\vec{s}_2\vert}$	★★
直线方向用两平面法向量叉积	$\vec{s} = \vec{n}_1\times\vec{n}_2$ ，不是点积	★★★

第六章多元函数微分学

⚠️ 易错点	正确做法	频率
偏导存在=连续？错！	只保证一元方向连续，不保证整体连续	★★★
抽象函数二阶导忘了再用链式	$f_1'$ 仍是 $u,v$ 的复合函数！	★★★★
$\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial z}=1$ ❌	多元不能"约分"	★★
方向导数最大值写成 $\nabla f$	最大值是 $\vert\nabla f\vert$ （标量）	★★★
$AC-B^2=0$ 说"非极值"	$=0$ 时需另行判定	★★★
拉格朗日只求出一组解	全部代入比较	★★★

第七章重积分

⚠️ 易错点	正确做法	频率
极坐标漏了 $\boldsymbol{r}$	$dxdy = r\,dr\,d\theta$	★★★★★
柱坐标 $dv$ 记混	$dv = r\,dr\,d\theta\,dz$	★★★
球坐标 $dv$ 记混	$dv = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$	★★★★
交换次序后上下限写反	画图，下界<上界	★★★
对称性没活用	被积函数能拆成奇+偶，分别判断	★★★
$dS$ 忘了加根号	$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$	★★★

第八章曲线积分与曲面积分

⚠️ 易错点	正确做法	频率
格林公式忘记检查方向	顺时针取负，逆时针取正	★★★★★
奇点处直接套格林	有奇点要挖小圆	★★★★
高斯公式内外侧不分	外侧取正，内侧取负	★★★★★
补了面忘记减去补面积分	$\iint_\Sigma =$ 高斯 $-$ $\iint_{\Sigma_0}$	★★★★
斯托克斯右手法则搞反	拇指→法向量，四指→曲线方向	★★★
$r^2\sin\varphi$ 记成 $r\sin\varphi$	球坐标 $dv=r^2\sin\varphi\cdots$ 多一个 $r$	★★★

第九章无穷级数

⚠️ 易错点	正确做法	频率
幂级数只算 $R$ 不查端点	必须检查 $x=\pm R$ 处	★★★★★
逐项积分后忘了 $S(0)$	$S(x)=\int_0^x S'(t)dt+S(0)$ ， $S(0)=a_0$	★★★★
间断点处直接代 $f(x_0)$	间断点处 $=\frac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}$	★★★★
条件收敛和绝对收敛混淆	绝对 $=\sum\vert a_n\vert$ 收敛	★★★
比值 $\rho=1$ 说"发散"	$\rho=1$ 时无法判定	★★★

3.2 三大公式速查对照表

公式	适用范围	关键条件	常用技巧	⚠️ 易错
格林	平面闭曲线→二重积分	$Q_x-P_y$ 连续	补线、挖奇点	顺时针加负号
高斯	闭曲面→三重积分	$\text{div}\,\vec{F}$ 在 $\Omega$ 内连续	补面、对称性	内侧加负号
斯托克斯	空间闭曲线→曲面积分	$\text{rot}\,\vec{F}$ 在 $\Sigma$ 上连续	选平面为 $\Sigma$	右手法则定向

统一视角：三大公式都是广义斯托克斯定理 $\int_{\partial\Omega} \omega = \int_\Omega d\omega$ 的特例

格林公式符号陷阱

$L$ 取逆时针才能直接用，顺时针加负号
补线法：不闭合时补一条简单曲线，再减去补线上的积分
奇点处理： $P,Q$ 在 $D$ 内有奇点（分母为0的点），要挖小圆绕开

高斯公式符号陷阱

$\Sigma$ 取外侧是标准，内侧加负号
补面法：不闭合时补一个平面，减去补面上的积分
补面的侧要与 $\Sigma$ 构成外侧闭曲面

斯托克斯公式符号陷阱

$\Gamma$ 方向与 $\Sigma$ 的侧满足右手法则
选 $\Sigma$ 尽量简单（如平面）

3.3 幂级数求和函数通关心法

核心三步走： ①求收敛域→②设 $S(x)$ →③逐项积分/求导化为已知和函数

经典套路：

级数形式	操作	目标
$\sum \frac{x^n}{n}$	求导	$\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$
$\sum nx^{n-1}$	积分	$\sum x^n = \frac{1}{1-x}$
$\sum \frac{x^{2n}}{2n+1}$	先乘 $x$ 再求导	$\sum x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}$
$\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$	直接求导	$\sum x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}$

三大致命坑：

逐项积分后忘了加 $S(0)$ — $S(x)=\int_0^x S'(t)dt+S(0)$
求导后下标从 $n=1$ 开始 — $n=0$ 项导数为0
收敛域积分后可能扩大 — 端点可能变收敛

3.4 幂级数展开通法总结

方法	适用场景	操作	示例
① 变量代换法	形式类似已知展开	把 $x$ 换成 $ax$ 、 $x^2$ 等	$e^{2x}\to\sum\frac{(2x)^n}{n!}$
② 拆项组合法	有理函数	拆成部分分式再展开	$\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}$
③ 逐项积分法	函数的导数易展开	先展开 $f'(x)$ ，再从0到 $x$ 逐项积分	$\ln(1+x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\int_0^x\sum(-t)^ndt$
④ 逐项求导法	函数的积分易展开	先展开 $\int f(x)dx$ ，再逐项求导	$\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x})=\frac{d}{dx}\sum x^n$
⑤ 四则运算法	乘积形式	利用已知展开相乘	$e^x\sin x$

🔑 必须记忆的常用展开式：

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n,\ |x|<1$
$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n,\ |x|<1$
$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},\ |x|<1$
$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\ |x|<\infty$
$\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\ |x|<\infty$
$\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},\ |x|<\infty$
$\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^\infty x^{2n},\ |x|<1$

3.5 傅里叶级数间断点陷阱

狄利克雷收敛定理： 间断点 $x_0$ 处收敛于 $\frac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}$

考试最爱问： $x=0,\pi,-\pi$ 处收敛于什么？

$x=\pi$ 是周期端点 → 左极限 $=f(\pi^-)$ ，右极限 $=f(-\pi^+)$
千万别直接代 $f(x_0)$ ！

奇延拓 vs 偶延拓：

奇延拓→正弦级数： $a_n=0$ ，在 $x=0,\pi$ 处收敛于 $0$
偶延拓→余弦级数： $b_n=0$ ，在 $x=0,\pi$ 处收敛于 $f(x)$ （连续时）
帕塞瓦尔等式： $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f^2(x)dx = \frac{a_0^2}{2}+\sum(a_n^2+b_n^2)$

3.6 拉格朗日乘数法通关心法

满分理解： 在极值点处 $\nabla f$ 必须平行于 $\nabla g$ → $\nabla f = \lambda \nabla g$

步骤： ①构造 $L=f+\lambda g$ → ②解 $\nabla L=0$ → ③全部代入比较

⚠️ 易错： 代完一组就以为完了 → 可能有多组解，全部代入比较！

第四部分：考前冲刺 🚀

4.1 满分答题策略

题型	建议用时	策略
选择题（~5道）	15分钟	排除法>直接算，拿不准先跳过
填空题（~5道）	15分钟	注意符号
计算题（~4道）	60分钟	先做最有把握的
证明题（~1道）	15分钟	从结论反推思路
检查	15分钟	关键！优先级如下

检查优先级（按分数价值排序）

第一查 👉 格林/高斯/斯托克斯的符号和方向（30秒→值5-8分）
第二查 👉 积分限有没有写反（30秒→值5分）
第三查 👉 $d\sigma$ 有没有漏 $r$ / $r^2\sin\varphi$ （10秒→值5分）
第四查 👉 幂级数端点检查了没有（20秒→值3-5分）
第五查 👉 傅里叶间断点代了平均值没有（10秒→值3分）

4.2 答案验证技巧

对称性验算

区域关于 $x$ 轴对称，被积函数关于 $y$ 是奇函数 → 积分 $=0$
与算出的答案矛盾 → 肯定算错了

量纲验算

二重积分×面积（长度²），三重积分×体积（长度³），曲线积分×长度（长度）

特值验算

参数取特殊值（如 $a=0,b=1$ ），看答案是否符合简单情形
幂级数和函数代入 $x=0$ 是否等于 $a_0$

反向验算

格林算完的积分，换一条路径直接算一遍验证
高斯公式算完的通量，投影到坐标面逐面验算

4.3 考点自测清单

第五章空间解析几何

必会	独立做对	知道为什么
平面方程综合（题6-8）	⬜	⬜
直线投影（题12）	⬜	⬜
曲面类型判断（题13-14）	⬜	⬜
旋转曲面方程（题15）	⬜	⬜

第六章多元函数微分学

必会	独立做对	知道为什么
链式法则（题7-8）	⬜	⬜
隐函数求偏导（题11-12）	⬜	⬜
无条件极值（题16）	⬜	⬜
🔥 抽象函数二阶偏导（题9）	⬜	⬜
🔥 拉格朗日乘数法（题17）	⬜	⬜

第七章重积分

必会	独立做对	知道为什么
二重积分计算（题3-4）	⬜	⬜
三重积分（题9-10）	⬜	⬜
🔥 交换积分次序（题5）	⬜	⬜
🔥 对称性化简（题6-8）	⬜	⬜

第八章曲线积分与曲面积分

必会	独立做对	知道为什么
格林公式符号（题2）	⬜	⬜
格林奇点挖圆（题3）	⬜	⬜
高斯公式（题7-8）	⬜	⬜
🔥 势函数（题5）	⬜	⬜
🔥 旋转曲面+高斯综合（题11）	⬜	⬜

第九章无穷级数

必会	独立做对	知道为什么
级数收敛性判断（题1-3）	⬜	⬜
幂级数收敛域（题5-6）	⬜	⬜
幂级数和函数（题7）	⬜	⬜
傅里叶间断点（题9-10）	⬜	⬜
🔥 正弦/余弦级数（题12）	⬜	⬜

4.4 考前24小时速查

必须默写的公式

公式	快速记忆
点到平面距离	$d = \frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
混合积	$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = \det$
隐函数求导	$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$
格林	$\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D (Q_x-P_y)dxdy$
高斯	$\oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iiint_\Omega (P_x+Q_y+R_z)dv$
斯托克斯	$\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz = \iint_\Sigma \text{rot}\,\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS$
幂级数收敛半径	$R = \lim\left\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\vert$
傅里叶系数	$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,dx$
狄利克雷	间断点 → $\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$
极值判别	$AC-B^2>0$ 有极值（ $A>0$ 极小， $A<0$ 极大）

考前必问10个问题

❓ 格林公式顺时针还是逆时针？ 2. ❓ 高斯公式外侧还是内侧？
❓ 极坐标有没有漏 $r$ ？ 4. ❓ 球坐标 $dv$ 是 $r^2\sin\varphi$ ？
❓ 幂级数端点检查了没有？ 6. ❓ 逐项积分后 $S(0)$ 加了没有？
❓ 傅里叶间断点处是平均值？ 8. ❓ 方向导数最大值是 $|\nabla f|$ ？
❓ 换序后上下限有没有写反？ 10. ❓ 拉格朗日所有驻点都代了？

🔥 10个问题全部答对+15分钟检查时间留足=99分稳了

祝高数下冲99成功！🔥🔥🔥

📐 高等数学（下）第五~九章 期末冲刺全真题库

第一部分：知识提纲 🎯

第五章 空间解析几何

§5-1 向量及其线性运算

§5-2 向量的数量积与向量积

§5-3 平面方程

§5-4 直线方程

§5-5 曲面与旋转曲面

§5-6 空间曲线与投影

第六章 多元函数微分学

§6-1 多元函数的基本概念

§6-2 偏导数

§6-3 复合函数微分法（链式法则）

§6-4 全微分

§6-5 隐函数求导

§6-6 方向导数与梯度

§6-7 曲面切平面与法线

§6-8 极值问题

第七章 重积分

§7-1 二重积分的概念与性质

§7-2 二重积分的计算

§7-3 三重积分

§7-4 第一类曲线积分（对弧长）

§7-5 第一类曲面积分（对面积）

第八章 曲线积分与曲面积分

§8-1 第二类曲线积分（对坐标）

§8-2 格林公式与路径无关

§8-3 第二类曲面积分（对坐标）

§8-4 高斯公式（散度定理）

§8-5 斯托克斯公式

第九章 无穷级数

§9-1 常数项级数的概念与性质

§9-2 正项级数敛散性判别

§9-5 幂级数

§9-6 函数展开为幂级数

§9-8 傅里叶级数

§9-9 一般周期的傅里叶级数

第二部分：全真题库 📝

第五章 空间解析几何

🔷 题型一：向量模与方向角 【基础】

🔷 题型二：点积与叉积运算 【基础】

🔷 题型三：向量性质判断与面积 【基础】

🔷 题型四：平面方程 【基础】

🔷 题型五：直线方程 【重点🔥】

🔷 题型六：曲面方程与旋转曲面 【重点🔥】

🔷 题型七：空间曲线与投影 【基础】

第六章 多元函数微分学

🔷 题型一：定义域与连续性 【基础】

🔷 题型二：偏导数 【基础】

🔷 题型三：链式法则 【重点🔥】

🔷 题型四：全微分与隐函数 【重点🔥】

🔷 题型五：方向导数与梯度 【基础】

🔷 题型六：切平面与法线 【重点🔥】

🔷 题型七：极值与拉格朗日乘数法 【重点🔥】

第七章 重积分

🔷 题型一：二重积分概念 【基础】

🔷 题型二：二重积分计算 【基础】

🔷 题型三：交换积分次序 【重点🔥】

🔷 题型四：对称性化简 【重点🔥】

🔷 题型五：三重积分 【基础】

🔷 题型六：Ⅰ型线面积分 【基础】

第八章 曲线积分与曲面积分

🔷 题型一：Ⅱ型曲线积分 【基础】

🔷 题型二：格林公式 【重点🔥】

🔷 题型三：势函数 【重点🔥】

🔷 题型四：Ⅱ型曲面积分 【基础】

🔷 题型五：高斯公式 【重点🔥】

🔷 题型六：斯托克斯公式 【重点🔥】

🔷 题型七：综合题 【综合🔥】

第九章 无穷级数

🔷 题型一：级数求和 【基础】

🔷 题型二：正项级数判别 【重点🔥】

🔷 题型三：幂级数收敛域 【重点🔥】

🔷 题型四：幂级数和函数 【综合🔥】

🔷 题型五：展开为幂级数 【基础】

🔷 题型六：傅里叶级数 【重点🔥】

🔷 题型七：一般周期与半幅展开 【综合🔥】

第三部分：专项突破 🎯

3.1 各章易错提醒汇总

第五章 空间解析几何

📐 高等数学（下）第五~九章期末冲刺全真题库

第五章空间解析几何

第六章多元函数微分学

第七章重积分

第八章曲线积分与曲面积分

第九章无穷级数

第五章空间解析几何

🔷 题型一：向量模与方向角【基础】

🔷 题型二：点积与叉积运算【基础】

🔷 题型三：向量性质判断与面积【基础】

🔷 题型四：平面方程【基础】

🔷 题型五：直线方程【重点🔥】

🔷 题型六：曲面方程与旋转曲面【重点🔥】

🔷 题型七：空间曲线与投影【基础】

第六章多元函数微分学

🔷 题型一：定义域与连续性【基础】

🔷 题型二：偏导数【基础】

🔷 题型三：链式法则【重点🔥】

🔷 题型四：全微分与隐函数【重点🔥】

🔷 题型五：方向导数与梯度【基础】

🔷 题型六：切平面与法线【重点🔥】

🔷 题型七：极值与拉格朗日乘数法【重点🔥】

第七章重积分

🔷 题型一：二重积分概念【基础】

🔷 题型二：二重积分计算【基础】

🔷 题型三：交换积分次序【重点🔥】

🔷 题型四：对称性化简【重点🔥】

🔷 题型五：三重积分【基础】

🔷 题型六：Ⅰ型线面积分【基础】

第八章曲线积分与曲面积分

🔷 题型一：Ⅱ型曲线积分【基础】

🔷 题型二：格林公式【重点🔥】

🔷 题型三：势函数【重点🔥】

🔷 题型四：Ⅱ型曲面积分【基础】

🔷 题型五：高斯公式【重点🔥】

🔷 题型六：斯托克斯公式【重点🔥】

🔷 题型七：综合题【综合🔥】

第九章无穷级数

🔷 题型一：级数求和【基础】

🔷 题型二：正项级数判别【重点🔥】

🔷 题型三：幂级数收敛域【重点🔥】

🔷 题型四：幂级数和函数【综合🔥】

🔷 题型五：展开为幂级数【基础】

🔷 题型六：傅里叶级数【重点🔥】

🔷 题型七：一般周期与半幅展开【综合🔥】

第五章空间解析几何

第六章多元函数微分学

第七章重积分

第八章曲线积分与曲面积分

第九章无穷级数

第五章空间解析几何

第六章多元函数微分学

第七章重积分

第八章曲线积分与曲面积分

第九章无穷级数